Question

如图甲所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同的半圆光滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向．一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放-个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离发生变化时，测得两点压力差与距离石的图象如图乙所示g=10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球在最低点B的速度为v_B=20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒及分别对A点和B点由向心力公式可求得压力差与距离x的关系式，则可由图象的截距求得物体的质量；
（2）由图象的斜率可求得光滑圆轨道的半径，由机械能守恒定律及竖直面内的圆周运动临界值可求得x的最大值．

解答：解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律：

1

2

m

v

2 B

=mg（2R+x）+

1

2

m

v

2 A

根据牛顿第二定律得
对B点：F_N1-mg=m

v 2 B

R

对A点：F_N2+mg=m

v 2 A

R

联立以上三式得：A、B两点的压力差：△F_N=F_N1-F_N2=6mg+

2mg

R

x
由图象得：截距 6mg=3N，得m=0.05kg；
（2）因为图线的斜率k=

2mg

R

=1
所以R=1m
由牛顿第二定律得小球在A点不脱离轨道的条件为：m

v 2 A

R

≥mg
即v_A≥

gR

代入数据解得，x的最大值为x_m=17.5m．
答：（1）小球的质量m是0.05kg；
（2）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x最大值为17.5m．

点评：本题考查机械能守恒的应用及竖直面内的圆周运动的临界值的应用，此类题型为常见题型，应熟练掌握．