题目内容

5．我国自行研制的“神舟五号”载人飞船载着中国第一代宇航员杨利伟，于2003年10月15日9时在酒泉发射场由“长征二号F”大推力运载火箭发射升空，并按预定轨道环绕地球飞行14圈后，于10月16日6时23分安全返回落在内蒙古的主着陆场．
（1）设“神舟五号”飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T．试计算飞船离地面的平均高度h．
（2）已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为r处的过程中，万有引力做功为W=GMm/r，式中G为万有引力恒量，M为地球的质量．那么将质量为m的飞船从地面发射到距离地面高度为h的圆形轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算，不考虑地球自转对发射的影响）

分析 （1）由万有引力定律和牛顿第二定律对飞船的运行过程列出等式求解
（2）表示出将飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面为h处引力做功，根据万有引力定律和牛顿第二定律列出等式求解．

解答 解：（1）设飞船质量为m，地球质量为M，由万有引力定律和牛顿第二定律对飞船的运行过程有：
$G\frac{mM}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+h）$
又$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得飞船离地面的高度为：$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
（2）若将飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面为h处，引力做功为：W1=$\frac{GMm}{R+h}$
若将飞船由距地球无穷远处移至地球表面，引力做功为：W2=$\frac{GMm}{R}$
所以将飞船由地球表面发射到距离地面h高的轨道上的过程中，引力做功为：W3=$\frac{GMm}{R+h}$-$\frac{GMm}{R}$
设飞船在距离地面高为h的圆轨道上运动时的速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{R+h}$
设将飞船送入沿距地面高度为h的圆形轨道运动的过程中，火箭要对飞船所做的功为W，根据动能定理有：
$W+{W_3}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$W=\frac{GMm（R+2h）}{2R（R+h）}$
答：（1）飞船离地面的平均高度是$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
（2）火箭至少要对飞船做功为$W=\frac{GMm（R+2h）}{2R（R+h）}$

点评 解决本题的关键掌握牛顿第二定律，以及万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．

练习册系列答案
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