Question

3．如图所示，一个光滑、绝缘水平高台的右面空间中存在范围足够大且水平向左的匀强电场，高台边缘静置一个带电量为+q、质量为m的小球B，另有一个绝缘不带电的小球A（大小与小球B相同，质量为3m）以初速度v₀向B运动，A与B发生弹性碰撞后水平进入电场．已知匀强电场的电场场强为E=$\frac{2mg}{q}$，重力加速度为g．（小球A、B碰撞过程中电荷不发生转移）
（1）小球A、B在水平台上发生碰撞后瞬间的速度大小V_A、V_B？
（2）小球A、B在电场中碰撞前相距的最大距离△x及条件？
（3）如果只改变A的质量，其它条件不变．小球A、B在电场中碰撞前相距的最大距离△x是否改变？

Answer 1

分析 （1）小球A、B发生弹性碰撞的过程中动量守恒、动能守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后各自的速度大小．
（2）A球不带电，所以出平台后做平抛运动，在竖直方向做自由落体，水平为匀速运动； B球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做类竖直上抛运动（假定向右为上），所以两球在竖直方向运动情况相同，始终保持在同一高度．当两球水平速度相等时，相距最远；也可以求出在时间t内两球在水平方向上的位移，根据二次函数求极值的方法求出最大距离．
（3）如果保持B的质量不变，改变A的质量，其它条件不变，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出碰后两球的速度之差，看是否与小球的质量有关，从而根据运动学公式判断再次碰撞前运动过程中相距的最大距离及再次碰撞发生的高度是否发生变化．

解答 解：（1）小球A、B发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：3mV₀=3mV_A+mV_B ①
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}3mV_0^2=\frac{1}{2}3mV_A^2+\frac{1}{2}mV_B^2$  ②
解得：V_A=$\frac{1}{2}$V₀，V_B=$\frac{3}{2}$V₀，方向：都向右 ③
（2）因为两小球竖直分运动都是自由落体运动，而B球在水平方向受向左的电场力往返运动．
两球在相同的时间下落相同的高度，两球在竖直方向运动相同，始终保持在同一高度，且能相碰．
水平方向：X_A=V_At  ④
X_B=V_Bt-$\frac{1}{2}$${a_{xB}}{t^2}$  ⑤
B球在水平方向的加速度：a_xB=$\frac{qE}{m}=2g$  ⑥
在电场中两球相距：△x=X_B-X_A=V₀t-gt²=-g （t-$\frac{V_0}{2g}$）²+$\frac{V_0^2}{4g}$ ⑦
当t=$\frac{V_0}{2g}$时，相距最远：△x=$\frac{V_0^2}{4g}$ ⑧
（3）小球A、B发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：m_AV₀=m_AV_A+mV_B ⑨
由机械能守恒定律的：$\frac{1}{2}{m_A}V_0^2=\frac{1}{2}{m_A}V_A^2+\frac{1}{2}mV_B^2$  ⑩
由⑨⑩得：V_B-V_A=V₀（与A、B质量无关），
有：X_A=V_At     X_B=V_Bt-$\frac{1}{2}$${a_{xB}}{t^2}$
B球在水平方向的加速度：a_xB=$\frac{qE}{m}=2g$
在电场中两球相距：△x=X_B-X_A=V₀t-gt²=-g （t-$\frac{V_0}{2g}$）²+$\frac{V_0^2}{4g}$，故结论不变；
答：（1）小球A、B在水平台上发生碰撞后瞬间的速度大小V_A、V_B分别为：$\frac{1}{2}$V₀、$\frac{3}{2}$V₀；
（2）当t=$\frac{V_0}{2g}$时，小球A、B在电场中碰撞前相距的距△x最大，为：$\frac{V_0^2}{4g}$；
（3）如果只改变A的质量，其它条件不变．小球A、B在电场中碰撞前相距的最大距离△x不改变．

点评 本题综合运用了动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律以及运动学公式，综合性较强，对学生的能力要求较高，是道难题．