Question

8．已知引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，近地卫星绕地球转动的周期为T，地球的第一宇宙速度为v，则地球的平均密度可表示为（　　）

• A． $ρ=\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• B． $ρ=\frac{{3{v^2}}}{4πRG}$
• C． $ρ=\frac{3g}{4πRG}$
• D． $ρ=\frac{{3{v^2}}}{{4π{R^2}G}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合周期或第一宇宙速度可以求出地球的质量，从而得出地球的平均密度．根据万有引力等于重力可以求出地球的质量，从而求出地球的密度．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得地球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，则地球的平均密度为：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故A正确．
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，地球的质量M=$\frac{{v}^{2}R}{G}$，则地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{v}^{2}R}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3{v}^{2}}{4πG{R}^{2}}$，故D正确，B错误．
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，则地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πRG}$，故C正确．
故选：ACD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．