题目内容
6．有一条两岸平直、水流均匀、流速恒定的大河．河宽d=100m，小明驾着小船渡河，去程时船在静水中的速度是水流速度的2倍，回程时船在静水中的速度是水流速度的$\frac{1}{2}$．（1）若去程时渡河时间最短，则船到达对岸的位置离出发点的距离是多少？
（2）若回程时航行距离最短，则船回到本岸后，小明要沿河岸走多远才能回到他当初的出发点．
分析 （1）将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据分运动和合运动具有等时性，求出垂直于河岸方向上的运动时间，即得出渡河的时间．从而得出小船到达对岸时向的位移．
（2）先求出小船到达对岸时向下游偏移的位移；
再根据运动的合成与分解，判断出回程最短对应的条件，然后求出运动的时间以及小船到达本岸时向下游偏移的位移，再由几何关系即可求出要沿河岸走多远才能回到他当初的出发点．
解答 解：（1）若渡河的时间最短，则船头的方向与河岸的方向垂直，设水流的速度为v，去时的速度为v1，则渡河的时间为：t=$\frac{d}{{v}_{1}}=\frac{t}{2v}$，
小船到达对岸时向下游偏移的位移为：x1=vt=$\frac{d}{2v}•v=\frac{d}{2}=\frac{100}{2}=50$m．
船到达对岸的位置离出发点的距离是：L=$\sqrt{{d}^{2}+{x}_{1}^{2}}$=$50\sqrt{5}$m
（2）若船的速度是水流速度的一半，则航程最短时，船头的速度方向与合速度的方向垂直，设合速度的方向与河岸方向之间的夹角为θ，船的速度大小为v2，则：
$sinθ=\frac{{v}_{2}}{v}=\frac{1}{2}$
所以：θ=30°
船回到本岸时，沿水流方向向下的位移满足：
$\frac{d}{{x}_{2}}=tanθ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以有：${x}_{2}=\sqrt{3}d=100\sqrt{3}$m
小明要沿河岸走回他当初的出发点的距离为：
x=x1+x2=50+$100\sqrt{3}$=50（1+2$\sqrt{3}$）m
答：（1）若去程时渡河时间最短，则船到达对岸的位置离出发点的距离是50$\sqrt{5}$m；
（2）若回程时航行距离最短，则船回到本岸后，小明要沿河岸走50（1+2$\sqrt{3}$）m才能回到他当初的出发点．
点评 该题考查小船渡河问题，解决本题的关键知道分运动与合运动具有等时性，以及知道各分运动具有独立性，互不干扰．
芝麻开花课程新体验系列答案
为从军事工事内部观察到外面的目标，在工事壁上开一正方形孔．设工事壁厚d=20cm，孔的宽度L=20cm，孔内嵌入折射率n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$的玻璃砖，如图所示，求：
如图所示，已知绳长为L=$\sqrt{2}$m，水平杆长L′=1m，小球质量m=0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动，问：要使绳子与竖直方向成45°角
质量为5kg的物体静止在粗糙水平面上，在0～4s内施加一水平恒力F，使物体从静止开始运动，在4～12s内去掉了该恒力F，物体因受摩擦力作用而减速至停止，其速度时间图象（v-t）如图所示，求：| 钩码个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 弹簧弹力F（N） | 0.50 | a | b | 2.00 | 2.50 | 3.00 |
| 弹簧伸长x（cm） | 1.20 | 2.40 | 3.60 | 4.76 | 6.10 | 7.10 |
②根据数据在坐标中画出图象．
③弹簧的劲度系数k=43N/m．（取两位有效数字）
由此得到结论：弹簧的弹力与伸长量成正比．
一质量m=2kg的质点在空中以速度vo=2m/s沿y轴正方向（竖直方向）运动，经过原点O后始终受到一个沿X轴正方向（水平方向）的恒力F=20N作用，不计空气阻力，g=10m/s2求：
环型对撞机是研究高能粒子的重要装置，如图所示，比荷相等的正、负离子由静止都经过电压为U的直线加速器加速后，沿圆环切线方向同时注入对撞机的高真空环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B．正、负离子在环状空腔内只受洛伦兹力作用而沿相反方向做半径相等的匀速圆周运动，然后在碰撞区迎面相撞，不考虑相对论效应，下列说法正确的是（ ）| A． | 所加的匀强磁场的方向应垂直圆环平面向里 | |
| B． | 若加速电压一定，离子的比荷$\frac{q}{m}$越大，磁感应强度B小 | |
| C． | 磁感应强度B一定时，比荷$\frac{q}{m}$相同的离子加速后，质量大的离子动能小 | |
| D． | 对于给定的正、负离子，加速电压U越大，离子在环状空腔磁场中的运动时间越长 |
| A． | 曲线运动一定是变速运动 | |
| B． | 匀速圆周运动的向心加速度不恒定 | |
| C． | 向心加速度越大，物体速率变化越快 | |
| D． | 做圆周运动的物体，加速度方向不一定指向圆心 |
（1）若测得某次压缩弹簧释放后小球落点P痕迹到O点的距离为s，则释放小球前弹簧的弹性势能表达式为$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；（用m、g、s、h等四个字母表示）
（2）该同学改变弹簧的压缩量进行多次测量得到下表一组数据：
| 弹簧压缩量x/cm | 1.00 | 1.50 | 2.00 | 2.50 | 3.00 | 3.50 |
| 小球飞行水平距离s/cm | 20.10 | 30.00 | 40.10 | 49.90 | 69.90 |
（3）完成实验后，该同学对上述装置进行了如图乙所示的改变：
（I）在木板表面先后钉上白纸和复写纸，并将木板竖直立于靠近桌子右边缘处，使小球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，撞到木板并在白纸上留下痕迹O；（II）将木板向右平移适当的距离固定，再使小球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，撞到木板上得到痕迹P；（III）用刻度尺测量纸上O点到P点的竖直距离为y．若已知木板与桌子右边缘的水平距离为L，则（II）步骤中弹簧的压缩量应该为$\frac{L}{20}\sqrt{\frac{h}{y}}$．（用L、h、y等三个字母表示）