Question

（2011?江苏模拟）如图所示，一群（不计重力）不同速度的质量为m，电量为q的带正的粒子进入电场强度为E，磁感强度为B的速度选择器（方向如图所示）后，紧接着进入垂直于纸面向外的两个匀强磁场区域，其磁感应强度分别为B和2B，从磁场Ⅰ的边界MN上的a点进入磁场Ⅰ，经过时间t₁=π m/6qB穿过磁场Ⅰ后进入右边磁场Ⅱ并按某一路径再返回到磁场Ⅰ的边界MN上的某一点b，（途中虚线为磁场区域的分界面）

求：
（1）带电粒子进入磁场时的速度；
（2）中间场区的宽度d；
（3）粒子从a点到b点所经历的时间t_ab；
（4）入射点a到出射点b的距离．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在速度选择器做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，可求出带电粒子的速度．
（2）带电粒子进入磁场Ⅱ时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动公式可求出半径和周期，根据题意，带电粒子经过时间t₁=

πm

6qB

穿过磁场Ⅰ，能求出轨迹对应的圆心角，由几何知识求解中间磁场的宽度d．
（3）根据带电粒子在磁场中速度的偏向角等于轨迹的圆心角，由几何知识求出粒子到达b时与磁场边界的夹角，从而知道速度的偏向角θ，由t=

θ

2π

T求得粒子在磁场Ⅱ运动的时间，就能得到总时间．
（4）根据几何关系求解入射点a到出射点b的距离．

解答：解：（1）带电粒子在速度选择器做匀速直线运动，则有
   qE=qvB，得  v=

E

B

（2）带电粒子进入磁场Ⅱ时，由洛伦兹力提供向心力，则有
   qvB=m

v2

r

，得 r=

mv

qB

周期为  T=

2πr

v

=

2πm

qB

由题，带电粒子经过时间t₁=

πm

6qB

穿过磁场Ⅰ，则t1=

1

12

T，轨迹对应的圆心角为  θ=30°
所以磁场Ⅰ的宽度为  d=rsin30°=

mE

2qB2

（3）带电粒子在磁场Ⅱ中运动的半径为  r′=

mv

2qB

，周期为T′=

2πm

2qB

=

πm

qB

由于带电粒子在磁场中速度的偏向角等于轨迹的圆心角，则带电粒子第一经过两种磁场的边界时，与边界的夹角为60°，根据几何知识得知，粒子到达b时，与磁场边界的夹角也为60°，则速度的偏向角为120°，所以粒子在磁场Ⅱ运动的时间为 t₂=

1

3

T′=

πm

3qB

故粒子从a点到b点所经历的时间t_ab=2t₁+t₂=

2πm

3qB

（4）根据几何知识得，入射点a到出射点b的距离为
  y_ab=r+r（1-cos30°）=

4- 3

2

r=

(4- 3 )mE

2qB2

答：
（1）带电粒子进入磁场时的速度为

E

B

；
（2）中间场区的宽度d是

mE

2qB2

；
（3）粒子从a点到b点所经历的时间t_ab是=

2πm

3qB

；
（4）入射点a到出射点b的距离是

(4- 3 )mE

2qB2

．

点评：本题关键有两点：一抓住带电粒子做匀速圆周运动时速度的偏向角等于轨迹所对应的圆心角；二是利用几何知识求出空间的距离．