Question

17．如图所示，质量为M、倾角为θ的斜面体C静止于粗糙的水平面上，质量为m_A和m_B的A、B保持相对静止一起沿斜面下滑，B、C接触面光滑．求：
（1）B对A的摩擦力和支持力；
（2）地面对C的支持力和摩擦力．

Answer 1

分析 （1）先对AB整体，运用牛顿第二定律求出加速度，再由A，由正交分解法求B对A的摩擦力和支持力．
（2）对C研究，分析受力情况，由平衡条件求地面对C的支持力和摩擦力．

解答 解：（1）A、B整体具有沿斜面向下的加速度，设为加速度为a，由牛顿第二定律可知：
  （m_A+m_B）a=（m_A+m_B）gsinθ
得：a=gsinθ
将a正交分解为竖直方向分量a₁，水平分量a₂，如图所示，由于具有水平分量a₂，故物体A必受水平向左摩擦力f，A受力如1图所示；
由牛顿第二定律得：
竖直方向上：m_Ag-N=m_Aa₁…①
水平方向上：f=m_Aa₂…②
假设斜面与水平方向的夹角为θ，摩擦力与弹力的合力与水平方向夹角为α，由几何关系得；
a₁=asinθ=gsinθsinθ=gsin²θ…③
a₂=acosθ=gsinθcosθ…④
得：N=m_Ag-m_Agsin²θ=m_Agcos²θ，f=m_Agsinθcosθ
（2）AB整体对C的压力为 N_AB=（m_A+m_B）gcosθ
分析C的受力情况如图2所示．根据平衡条件得：
  N_C=Mg+N_ABcosθ=Mg+（m_A+m_B）gcos²θ
  f_C=N_ABsinθ=（m_A+m_B）gsinθcosθ
答：
（1）B对A的摩擦力和支持力分别为m_Agsinθcosθ和m_Agcos²θ；
（2）地面对C的支持力和摩擦力分别为Mg+（m_A+m_B）gcos²θ和（m_A+m_B）gsinθcosθ．

点评 本题AB与C的加速度不同，不好用整体法，可根据隔离法研究，关键要正确分析受力情况，由牛顿第二定律和平衡条件解答．