题目内容
开普勒第三定律也适用于神州七号飞船的变轨运动．如图所示，飞船与火箭分离后进入预定近地圆形轨道飞行，某一时刻飞船在近地点启动发动机加速，经过较短时间后飞船速度增大并转移到与地球表面相切的椭圆轨道，飞船在远地点再一次点火加速，将沿半径为 r 的圆形轨道绕地球运动，设地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，若不计空气的阻力，试求，神州七号从近地点运动到远地点的时间（变轨时间）．分析：根据万有引力提供向心力、重力等于万有引力和开普勒第三定律联合列方程即可求解．
解答：解：当飞船沿半径为r的圆形轨道绕地球运动时，根据万有引力提供向心力，有
=mr(
)2
所以T2=
…①
根据开普勒第三定律：
=恒量，有
=
…②
又因为：∵
=mg ∴GM=gR2…③
由①②③解得：
t=
答：神州七号从近地点运动到远地点的时间为t=
．
| GMm |
| r2 |
| 2π |
| T |
所以T2=
| 2πr3 |
| GM |
根据开普勒第三定律：
| a3 |
| T2 |
| r3 |
| T2 |
(
| ||
| (2t)2 |
又因为：∵
| GMm |
| R2 |
由①②③解得：
t=
| π(R+r) |
| 2R |
|
答：神州七号从近地点运动到远地点的时间为t=
| π(R+r) |
| 2R |
|
点评：此题不仅考查有引力提供向心力、重力等于万有引力的关系式，而且要理解开普勒第三定律，并会运用它来解题．
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