Question

如图所示，倾角为θ宽度为d长为L的光滑倾斜导轨C₁D₁、C₂D₂顶端接有可变电阻R₀，L足够长，倾斜导轨置于垂直导轨平面斜向左上方的匀强磁场中，磁感应强度为B，C₁A₁B₁、C₂A₂B₂为绝缘轨道，由半径为R处于竖直平面内的光滑半圆环A₁B₁、A₂B₂和粗糙的水平轨道C₁A₁、C₂A₂组成，粗糙的水平轨道长为S，整个轨道对称．在导轨顶端垂直于导轨放一根质量为m、电阻不计的金属棒MN，使其从静止开始自由下滑，不考虑金属棒MN经过接点A₁A₂、C₁C₂处时机械能的损失，整个运动过程中金属棒始终保持水平，水平导轨与金属棒MN之间的动摩擦因数为?．则：
（1）金属棒MN在倾斜导轨C₁D₁ C₂ D₂上运动的过程中，电阻R₀上产生的热量Q为多少？
（2）为了金属棒MN能到达光滑半圆环B点，可变电阻R₀应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）金属棒下滑时切割磁感线运动，产生感应电动势，产生感应电流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为0时，速度最大．下滑过程中，重力势能减小，动能增加，内能增加，根据能量守恒求出整个电路产生的热量，从而求出电阻R上产生的热量．
（2）对金属棒到达最高点进行受力分析，确定能到达最高点的最小速度，再由动能定理从而来计算出可变电阻R₀应满足条件．

解答：解：（1）由于L足够长，棱MN在斜导轨上到达C端前已经作匀速直线运动
则有：mgsinθ=

B2d2v

R0

解之得：v=

R0mgsinθ

B2d2

根据能量守恒：mgLsinθ=

1

2

mv2-Q
解之得：Q=mgLsinθ?

R 2 0 m3g2sin2θ

2B4d4

（2）棒能到达B点时：mg≤m

v 2 B

R

    
解得：vB≥

Rg

从C到B过程中，由动能定理可得：2mgR+μmgS=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 B

解之得：R0≥

d2B2 5Rg+2gμS

mgsinθ

答：（1）金属棒MN在倾斜导轨C₁D₁ C₂ D₂上运动的过程中，电阻R₀上产生的热量Q=mgLsinθ?

R 2 0 m3g2sin2θ

2B4d4

；
（2）为了金属棒MN能到达光滑半圆环B点，可变电阻R₀应满足R0≥

d2B2 5Rg+2gμS

mgsinθ

．

点评：本题应用到电磁感应、右手定则、左手定则、牛顿定律、能量守恒定律等知识，要培养分析问题和解决综合题的能力．关键掌握运用动力学分析金属棒的运动，知道当加速度为零时，速度最大．同时利用牛顿第二定律与向心力，并结合动能定理来确定所求的结果．