Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x＞0的空间里有沿x轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中的x轴上的A点，沿着与水平方向成θ=30°角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x＜0的区域，要使小球进入x＜0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x＜0区域另加一匀强电场，若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点（C点未标出），且

.

OA

=

.

OC

，设重力加速度为g，求：
（1）小球运动速率的大小；
（2）在x＜0的区域所加电场的场强大小和方向；
（3）小球从B点运动到C点所用时间．

Answer 1

（1）小球从A运动到B的过程中，小球受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状态，如图右图所示．由题设条件知sin30°=

qE

Bqv

，


所以小球的运动速率为  v=

2E

B

．
（2）小球在x＜0的区域做匀速圆周运动，则小球的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供做圆周运动的向心力．则
    mg=qE，
 又 tan30°=

qE

mg

．
所以 E′=

3

E，方向竖直向上．
（3）如图所示，连接BC，过B作AB的垂线交x轴于O′．


因为 θ=30°，所以∠AO′B=60°，又

.

OA

=

.

OC

，
故∠OCB=θ=30°，所以∠CBO′=30°，
 

.

O′C

=

.

O′B

，则O’为小球做圆周运动的圆心
且 qvB=m

v2

R

，R=

mv

Bq

，T=

2πR

v

=

2πm

Bq

，
由于∠CO′B=120°，
小球从点B运动到点C的时间为  t₁=

1

3

T=

2πm

3Bq

，
又

m

q

=

3 E

g

，所以

.

OA

=

2 3 E2

gB2

．t₁=

2 3 πE

3gB

答：
（1）小球运动速率的大小为

2E

B

．
（2）在x＜0的区域所加电场的场强大小为

3

E，方向竖直向上．
（3）小球从B点运动到C点所用时间是

2 3 πE

3gB

．