Question

16．如图所示，一物体从底边相等（均为l）的各种长度不等的光滑斜面顶端由静止滑下，则当斜面倾角θ=45°时，物体滑到斜面底部所用时间最短，最短时间t_min=2$\sqrt{\frac{l}{g}}$．

Answer 1

分析 对于任意斜面，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，根据位移时间公式求出时间的表达式，结合数学知识求最短时间．

解答 解：设任一斜面与水平面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得加速度为：
a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ，
底边的长度为l，则斜面的长度为：
s=$\frac{l}{cosθ}$
根据运动学公式得：
s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2•\frac{l}{cosθ}}{gsinθ}}$=$\sqrt{\frac{4l}{gsin2θ}}$
根据数学知识可知，当2θ=90°，即θ=45°时，t最短，且最短时间为：t_min=2$\sqrt{\frac{l}{g}}$
故答案为：45°，2$\sqrt{\frac{l}{g}}$．

点评 本题的关键是运用牛顿第二定律和运动学公式得到时间的表达式，再根据数学知识求时间的最小值，这是常用的函数法，要学会运用．