题目内容

有一平行板电容器，内部为真空，两个极板的间距为d，极板长为L，极板间有一匀强电场，U为两极板间的电压，电子从极板左端的正中央以初速v0射入，其方向平行于极板，并打在极板边缘的D点，如图（甲）所示．电子的电荷量用e表示，质量用m表示，重力不计．回答下面问题（用字母表示结果）．
（1）求电子打到D点的动能；
（2）电子的初速v0必须大于何值，电子才能飞出极板；
（3）若极板间没有电场，只有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电子从极板左端的正中央以平行于极板的初速v0射入，如图（乙）所示，则电子的初速v0为何值，电子才能飞出极板？
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分析：（1）电子从进入电场到运动到D的过程中，电场力做功
U
2
e，根据动能定理求解电子打到D点的动能；
（2）电子进入电场做类平抛运动，运用运动的分解法研究电子刚好打到极板边缘时的速度v，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出v，初速v0必须大于v，电子才能飞出极板．
（3）电子垂直进入磁场中，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，当电子的速度较小，刚好从电容器左边边缘飞出磁场时半径等于
d
4
；当电子的速度较大，刚好从右边边缘飞出磁场时，由几何知识求出半径，再根据牛顿第二定律求出初速度，即可得到初速度的范围．
解答：解：（1）设电子打到D点时的动能为Ek，由动能定理可得：
  Ek-
1
2
mv02=
U
2
e…①
由①式解得：Ek=
U
2
e+
1
2
m
v
2
0
…②
（2）设电子刚好打到极板边缘时的速度为v，电子在平行板电容器间做类平抛运动，设其在竖直方向的加速度为a，在电场中的飞行时间为t，则由电场力及牛顿第二定律、平抛运动的规律可得：
 
eu
d
=ma…③
1
2
d=
1
2
at2 …④
 v=
L
t
…⑤
由③④⑤式联立解得：v=
L
d
ue
m

所以电子要逸出电容器，必有：v0＞
L
d
eu
m

（3）在只有磁场情况下电子要逸出电容器，有两种情况．
①电子从左边边缘飞出磁场，做半圆周运动，其半径：R1=
1
4
d…⑥
由洛仑兹力和向心力公式可得：ev1B=m
v
2
1
R1
…⑦
由⑦式解得：v1=
eBd
4m
…⑧
因此电子避开极板的条件是：v1＜
eBd
4m
…⑨
②电子从右边出，做半圆周运动其半径：
R
2
2
=L2+(R2-
d
2
)2…⑩
由⑩式解得：R2=
4L2+d2
4d

由洛仑兹力和向心力公式可得：ev2B=m
v
2
2
R2
…（11）
由（11）式解得：v2=
(4L2+d2)eB
4dm
…（12）
电子避开极板的条件是：v2＞
(4L2+d2)eB
4dm
…（13）
答：（1）电子打到D点的动能是
U
2
e+
1
2
m
v
2
0
；
（2）电子要飞出电容器，必有v0＞
L
d
ue/m
．
（3）电子的初速v0＜
eBd
4m
或v2＞
(4L2+d2)eB
4dm
时，电子才能飞出极板．
点评：本题是带电粒子分别在匀强电场和匀强磁场中运动的问题，分别采用运动的分解法处理和几何知识求半径的方法研究，要注意挖掘隐含的临界条件．
练习册系列答案
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qm
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（2）电子的初速v0至少必须大于何值，电子才能避开电极板，逸出电容器外？
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A.              B.              C.                     D.

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