Question

3．如图所示，相互平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，相距为L，导轨下端连接一个定值电阻R₁，上端通过开关S（S是闭合的）也连接一个定值电阻R₂，导体棒ab放在导轨上靠近下端的位置，与导轨垂直并良好接触，在斜面上虚线MN以下的区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，现对ab棒施以平行导轨斜向上的恒定拉力F，使它沿导轨先向上加速运动，在到达虚线MN之前，导体棒ab已经开始做匀速运动，当导体棒到达MN时，立即撤去拉力，导体棒向上运动一段后又向下滑动，进入磁场后又做匀速运动．
已知R₁=R₂=R，导体棒ab的阻值为r=$\frac{R}{{2}^{+}}$，质量为m，重力加速度为g，拉力做的功为w．导轨电阻不计．
（1）求拉力F的大小和导体棒ab匀速运动时的速度v；
（2）当导体棒ab匀速运动时，电阻R₁的发热功率P₁多大？从导体棒ab开始运动到开始运动到回到初始位置的过程中电阻R₁产生了多少热量Q₁？
（3）若在导体棒ab再次进入磁场时断开开关S，则导体棒ab将如何运动？

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出安培力，应用牛顿第二定律与平衡条件可以求出拉力大小与匀速运动时的速度．
（2）应用功率公式与能量守恒定律求出功率与产生的热量．
（3）根据电路电流与安培力的变化情况分析导体棒的运动情况．

解答 解：（1）对导体棒，由牛顿第二定律可得
F-F_A-mgsinθ=ma ①
其中，导体棒受到的安培力
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$ ②
当导体棒加速度a=0时开始做匀速运动，
由①②整理得：F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$-mgsinθ=0  ③
导体棒在MN上方运动时只受重力，机械能守恒，
因此当导体棒再次进入磁场时速度也为v，导体棒匀速运动，
由平衡条件得：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=0  ④由④解得v=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑤
由③④解得：F=mg  ⑥；
（2）由于R₁与R₂并联后电阻值等于$\frac{R}{2}$，因此P_r=2P₁，
有：P₁=$\frac{1}{4}$P_总=$\frac{1}{4}$F_Av ⑦
由②⑤⑦联立解得：P₁=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑧
从导体棒ab开始运动到回到初始位置，重力做功为0，
由能量守恒定律得：W-Q=$\frac{1}{2}$mv²-0 ⑨其中：Q₁=$\frac{1}{4}$Q ⑩
由⑤⑨⑩解得：Q₁=$\frac{1}{4}$（W-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）．  
（3）当开关S断开时，回路的电阻增大，通过导体棒ab的电流减小，
安培力减小，导体棒ab先加速，当：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{\frac{3R}{2}}$=0时，
导体棒ab开始以v′=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$的速度做匀速运动．
答：（1）拉力F的大小为mg，导体棒ab匀速运动时的速度v为$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）当导体棒ab匀速运动时，电阻R₁的发热功率P₁为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{L}^{2}}$，
从导体棒ab开始运动到开始运动到回到初始位置的过程中电阻R₁产生了多少热量Q₁为$\frac{1}{4}$（W-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）．  
（3）若在导体棒ab再次进入磁场时断开开关S，导体棒ab将先做加速运动，后做匀速直线运动．

点评 本题是电磁感应与力学相结合的综合题，分析清楚导体棒的运动过程是解题的关键，应用安培力公式、牛顿第二定律、平衡条件、能量守恒定律可以解题．