题目内容

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（1）若要使弹簧不发生形变，求圆盘转动的角速度必须满足的条件；
（2）当弹簧长度为2l0时，若小滑块受到的摩擦力恰好为零，求此时滑块的动能；
（3）当弹簧长度为某一值1时，滑块相对圆盘静止时的动能可在一定范围内变化，该变化区间内动能的最大差值称为“动能阈”，用△Ek表示，请通过计算写出“动能阈”△Ek与弹簧长度l间的关系式．

分析 （1）最大静摩擦力提供向心力此时角速度最大，根据牛顿第二定律求得；
（2）弹簧的弹力刚好提供向心力，根据牛顿第二定律求得；
（3）当弹簧的长度为l时，速度较小和较大，物体受到的静摩擦力指向圆心和背离圆心，根据牛顿第二定律求得最大速度和最小速度，即可求得动能阈

解答 解：（1）最大静摩擦力提供向心力时此时的角速度最大，故μmg≥mω2l0，
解得：$ω≤\sqrt{\frac{μg}{{l}_{0}}}$=$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$
（2）当弹簧长度为2l0时，若小滑块受到的摩擦力恰好为零，此时弹簧的弹力提供向心力，则$k{l}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{2{l}_{0}}$，
此时的动能为：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：${E}_{k}={kl}_{0}^{2}$
（3）当弹簧长度为某一值1时，此时弹簧的弹力F=k（l-l0），当速度较小时，受到的静摩擦力方向背离圆心，则：$k（l-{l}_{0}）-μmg=\frac{mv{′}^{2}}{l}$，
此时的动能为：${E}_{k1}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{1}{2}k{l}^{2}-\frac{4}{5}kl{l}_{0}$
当线速度较大时，静摩擦力指向圆心，则：$k（l-{L}_{0}）+μmg=\frac{mv{″}^{2}}{l}$，
此时的动能为：${E}_{k2}=\frac{1}{2}mv{″}^{2}=\frac{1}{2}k{l}^{2}-\frac{1}{5}kl{l}_{0}$
故“动能阈”△Ek与弹簧长度l间的关系式$△{E}_{k}={E}_{k2}-{E}_{k1}=\frac{3}{5}kl{l}_{0}$
答：（1）圆盘转动的角速度必须满足的条件为$ω≤\sqrt{\frac{3k}{5m}}$；
（2）此时滑块的动能为${kl}_{0}^{2}$；
（3）“动能阈”△Ek与弹簧长度l间的关系式为$△{E}_{k}=\frac{3}{5}kl{l}_{0}$．

点评 解决本题的关键知道物块做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．

练习册系列答案
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