Question

6．如图甲是研究小球在同一斜面上做平抛运动的实验装置，每次将小球从圆弧形轨道同一位置由静止释放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的水平射程x，最后作出了如图a所示的x-tanθ图象，当0＜tanθ＜$\sqrt{3}$时图象如图b所示，当$\sqrt{3}$＜tanθ时图象变为曲线（未画出）．重力加速度g=10m/s²．则下列判断正确的是（　　）

• A． 小球在斜面顶端水平抛出时的初速度v₀=2m/s
• B． 当θ=30°时，小球恰落在斜面底端
• C． 斜面的长度为L=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$m
• D． 斜面的长度为L=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m

Answer 1

分析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合平抛运动的规律得出水平位移x与tanθ的关系式，结合图象得出小球平抛运动的初速度．再根据板长与竖直位移和水平位移的关系求解斜面的长度．

解答 解：A、小球做平抛运动落在斜面上，有：$tanθ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，解得t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$，则水平位移$x={v}_{0}t=\frac{2{{v}_{0}}^{2}tanθ}{g}$，由数学知识知图b的斜率为：$k=\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}=\frac{1}{5}$，解得v₀=1m/s，故A错误．
B、由图可知，当tanθ$＞\sqrt{3}$时，图线为曲线，知物体不再落在斜面上，即θ=60°时，小球恰好落在斜面的底端，故B错误．
C、设板长为L．当θ=60°时，则有：
水平方向有：Lcos60°=v₀t
竖直方向有：Lsin60°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
联立得：Lsin60°=$\frac{1}{2}g×（\frac{Lcos60}{{v}_{0}}）^{2}$，解得L=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$m．故C正确，D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键抓住竖直位移与水平位移的比值等于斜面的倾角的正切值，得出x-tanθ的关系，通过图线的斜率求解初速度，这是解决与图象结合问题的常用方法．