Question

如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度大小为g。

（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。

（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

（3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。

Answer 1

解答：（1）带电微粒平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力的大小相等，方向相反。设电场强度大小为E，由

mg=qE

可得电场强度大小

方向沿y轴正方向。

带电微粒进入磁场后受到重力、电场力和洛伦兹力的作用。由于电场力和重力相互抵消，它将做匀速圆周运动。如图（a）所示，考虑到带电微粒是从C点水平进入磁场，过O点后沿y轴负方向离开磁场，可得圆周运动半径r=R

      

图（a）               图（b）

设磁感应强度大小为B，由

可得磁感应强度大小

方向垂直xOy平面向外。

（2）这束带电微粒都通过坐标原点。

理由说明如下：

方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图（b）所示。这样，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图所示的虚线半圆，此半圆的圆心是坐标原点。所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。

方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图（b）所示，设P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆周运动的圆心Q的坐标为(-Rsinθ,Rcosθ)，圆周运动轨迹方程为

(x+Rsinθ)²+(y-Rcosθ)²=R²

而磁场边界是圆心坐标为（0，R）的圆周，其方程为

x²+(y-R)²=R²

解上述两式，可得带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为

或

坐标为（-Rsinθ,R(1+cosθ)）的点就是P点，须舍去。由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。

（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x＞0。

理由说明如下：

带电微粒初速度大小变为2v，则从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径r′为

带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y轴的右方（x＞0区域）离开磁场并做匀速直线运动，如图（c）所示。靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。

图（c）

所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x＞0。