Question

13．如图所示，摩托车做腾跃特级表演，以初速度v₀冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出，若摩托车始终以额定功率P行驶，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力的影响可忽略不计，求：
（1）人和车到达坡顶时的速度v
（2）人和车飞出的水平距离x
（3）当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远，并求出最大值X_max．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，抓住功率不变求出人和车到达坡顶时的速度大小．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平位移．
（3）运用数学知识：不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$，当a=b时取等号，对水平方向距离来确定h取何值时，s有最大值．

解答 解：（1）根据动能定理得：Pt-mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}}{m}}$．
（2）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，则水平距离为：x=vt=$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$．
（3）x=vt=$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$=$\sqrt{2h（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}-2h）}$．
利用不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$当a=b时取等号，所以由上式可得：
当$2h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}-2h$时，
即$h=\frac{1}{4}（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}）$时，x取最大值，x_max=2h．
答：（1）人和车到达坡顶时的速度v为$\sqrt{\frac{2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}}{m}}$．
（2）人和车飞出的水平距离x为$\sqrt{\frac{（2Pt-2mgh+m{{v}_{0}}^{2}）•2h}{mg}}$．
（3）当$h=\frac{1}{4}（\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}+\frac{2Pt}{mg}）$时，人和车飞出的水平距离最远，最大值X_max为2h．

点评 本题考查动能定理和平抛运动的规律，难度不大，关键是利用好数学知识求的极值．