Question

13．如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里（图中未画）．一带正电的粒子沿图中直线以速率v₀从圆上的a点射入柱形区域，从圆上b点（图中未画）射出磁场时速度方向与射入时的夹角为60°．已知圆心O到直线的距离为 $\frac{1}{2}$R．不计粒子重力．
（1）求粒子的比荷 $\frac{q}{m}$；
（2）现将磁场换为平行于纸面且垂直于图中虚线的匀强电场，同一粒子以两样的速度从A点射入柱形区域，也在a点离开该区域．求电场强度的大小．
（3）若保持（2）电场不变，原磁场方向也不变，调节磁感应强度大小使粒子恰好经过圆心O，求粒子通过圆心0时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）通过带电粒子在磁场中做圆周运动，画出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出轨道半径的大小，结合洛伦兹力提供向心力，求得比荷．
（2）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，结合在沿电场方向上做匀加速直线运动和垂直于电场方向做匀速直线运动，求出电场强度的大小．
（3）若保持（2）电场不变，原磁场方向也不变，粒子从a到O点的过程中只有电场力做功，由动能定理即可求得末速度．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动．设圆周半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$…①
大致画出b点位置及粒子运动轨迹，轨迹圆的圆心为O'，连接ab及O'a、O'b，由题知半径转过的圆心角θ=60°，△O'ab为等边三角形，∠O'ab=60°，则∠bac=30°，其中Oc为入射线的垂线段，而在△Oac中，因$\overline{Oc}=\frac{1}{2}R$，$\overline{Oa}=R$，所以∠Oac=30°，即O点在ab连线上．
由几何关系知：r=2R…②
由①②两式解得：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{2BR}$…③
（2）考虑粒子在电场中的运动．设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动．设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得：
qE=ma…④
由于ab是圆的直径，入射方向与圆交于d点，则有bd垂直于ad，则ad长度为粒子在垂直于电场方向的位移，bd为粒子在平行于电场方向的位移．由运动学公式得：$2Rsin30°=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑤
2Rcos30°=v₀t…⑥
由③④⑤⑥解得：$E=\frac{4}{3}{v}_{0}B$    ⑦
（3）若保持（2）电场不变，原磁场方向也不变，粒子从a到O点的过程中只有电场力做功，$qE•\overline{Oc}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   ⑧
得：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+qE•\frac{1}{2}R}$   ⑨
联立③⑦⑨得：$v=\sqrt{\frac{5}{3}}{v}_{0}$
答：（1）粒子的比荷（$\frac{q}{m}$）是$\frac{{v}_{0}}{2BR}$；（2）电场强度的大小是$\frac{4}{3}{v}_{0}B$；（3）粒子通过圆心0时的速度大小是$\sqrt{\frac{5}{3}}{v}_{0}$．

点评 解决本题的关键掌握带电粒子在磁场中磁偏转和在电场中电偏转的区别，知道磁偏转做匀速圆周运动，电偏转做类平抛运动．