题目内容
17．
如图所示，第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直于纸面向外的匀强磁场B1，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒，以某一速度v沿与y轴负方向成60°角从N点射入，经P点进入第四象限内沿直线运动，一段时间后，微粒经过y轴上的M点并沿与y轴负方向成60°角的方向飞出，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B2，E的大小为0.5×103V/m，B2的大小为0.5T；M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力．（1）求匀强磁场B1的大小和微粒的运动速度v；
（2）B1磁场区域的最小面积为多少？
分析 （1）粒子在第四象限内做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，由平衡条件可以求出粒子速度，根据粒子运动轨迹求得圆周运动半径，由洛伦兹力提供圆周运动向心力求得磁感应强度；
（2）根据几何关系确定磁场所在区域，由结合轨迹求得磁场区域的最小面积．
解答 解：（1）带正电微粒以某一速度v沿与y轴负方向60°角从N点射入，由于重力忽略不计，微粒在第一象限内仅受洛伦兹力做匀速圆周运动；微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动，因此，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，由力的平衡有Eq=B2qv
所以$v=\frac{E}{B_2}=\frac{{0.5×{{10}^3}}}{0.5}m/s=1×{10^3}m/s$
根据题意画出微粒的运动轨迹如图所示：
因为M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），由几何关系可知微粒在第一象限内做圆周运动的半径为$R=\frac{{20\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{{\sqrt{3}}}{15}m$．
微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即$R=\frac{{20\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{{\sqrt{3}}}{15}m$
解得${B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}T$．
（2）由图可知，磁场B1的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内，
由几何关系易得PD=2Rsin60°=0.2m，$PA=R（{1-cos60°}）=\frac{{\sqrt{3}}}{30}m$．
所以，所求磁场的最小面积为$s=PD•PA=\frac{1}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{30}{m^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{150}{m^2}$．
答：（1）匀强磁场B1的大小为$\frac{\sqrt{3}}{2}T$和微粒的运动速度v为1000m/s；
（2）B1磁场区域的最小面积为$\frac{\sqrt{3}}{150}{m}^{2}$．
点评 当带电粒子在电场与磁场中做直线运动时，由于洛伦兹力由速度决定，所以粒子必做匀速直线运动．当粒子进入磁场时，仅受洛伦兹力做匀速圆周运动，由几何关系可确定磁感应强度．
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