题目内容

（2013?台州模拟）如图所示．坐标原点O处有一点状的放射源，它向xoy平面内的第一象限各个方向发射同一种粒子，速度大小都是v0，粒子的电量为q＞0、质量为m．在0≤x，0≤y≤d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为E电=
mv02
2qd
，其中q与m分别为粒子的电量和质量；在d＜y＜2d的区域内分布有垂直于xoy平面的匀强磁场．粒子在磁场中运动的最短时间为粒子在磁场中运动周期的
1
6
．不计粒子重力及粒子间的相互作用．求：
（1）粒子刚离开电场时的动能；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）若磁感应强度不变，则当磁场的ab边界平移多少距离，恰能保证所有粒子不从ab边界飞出．求粒子第一次飞入磁场的右边界点的坐标值和飞出磁场的左边界点的坐标值．
分析：（1）粒子在电场中加速过程，根据动能定理求出粒子刚进入磁场时的动能．
（2）所有粒子进入磁场后半径相同，周期相同．粒子在磁场中运动的时间最短，粒子在磁场中运动对应的弦最短为磁场宽度d，根据粒子在磁场中运动时间为
1
6
周期，即对应的圆心角为θ=60°，画出轨迹，由几何知识得到轨迹半径．即可由牛顿第二定律求解B．
（3）能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小．
（3）证沿x轴正方向发出的粒子不从ab边界飞出，即可保证所有粒子不从ab边界飞出．沿x轴正方向发出的粒子在电场中做类平抛运动，进入磁场时速度方向与x轴正方向成θ=45°．根据几何关系求解．
解答：解：（1）根据动能定理得：qEd=EK-
1
2
m
v
2
0
                       
得：EK=m
v
2
0
；
（2）所有粒子进入磁场的速率相同 EK=
1
2
m
v
2
 
=m
v
2
0

速率为 v=
2
v0            
所有粒子进入磁场后半径相同，周期相同．                                                 
粒子在磁场中运动的时间最短，粒子在磁场中运动对应的弦最短为磁场宽度d，粒子在磁场中运动时间为
1
6
周期，即对应的圆心角为θ=60°，如图①：求得粒子进入磁场后半径r=d
 qvB=m
v2
r

 解得：B=
2
mv0
qd
；                                                      
（3）保证沿x轴正方向发出的粒子不从ab边界飞出，即可保证所有粒子不从ab边界飞出．
沿x轴正方向发出的粒子在电场中做类平抛运动，进入磁场时速度方向与x轴正方向成θ=45°
轨迹如图③磁场上边界为a'b'由几何关系得：向上扩展平移的距离 △y=(d+dsin45°)-d=
2
2
d
沿x轴正方向发出的粒子第一次飞入磁场的点为右边界x=v0t，
  y=d=
vy
2
t，
  vy=vsin45°=v0
解得：x=2d；y=d
粒子第一次飞入磁场的右边界点的坐标值为（2d，d）                          
从坐标原点向上发出的粒子飞出磁场的点为左边界如图④得粒子飞出磁场的左边界点的坐标值：
（-2r，d）即（-2d，d）．                                                  
答：
（1）粒子刚离开电场时的动能为mv
 
2
0
；
（2）磁感应强度B的大小为
2
mv0
qd
；
（3）粒子第一次飞入磁场的右边界点的坐标值和飞出磁场的左边界点的坐标值为（-2r，d）．
点评：本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．
练习册系列答案
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