Question

如图所示，大量质量为、电量为的带电粒子（不计重力），由静止开始经电场加速后沿水平方向从P点进入的匀强磁场，不计各粒子之间的作用力．已知磁感应强度为B，磁场的两边界线竖直且上下足够长，宽度为．回答下列问题：
（1）加速电场的电压为U₀时，粒子刚好能从磁场的右边界穿过，求U₀=？
（2）若在P点加一个速度散射器（可使粒子速度方向变化，而不改变速度大小），使粒子从P点沿各个方向射入磁场，为使磁场右边界有粒子射出，加速电压至少应为多大？
（3）在有速度散射器的情况下，将加速电压调为U=U₀，则穿过磁场的粒子中，穿越磁场的最短时间为多少？

Answer 1

分析：（1）在匀强磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力列式求解磁场的宽度，在加速度电场中运用动能定律课求出加速电压．
（2）此时粒子正好做半个圆的轨迹运动，磁场的宽度为圆弧的直径．根据这个临界条件列式求解．
（3）在磁场中根据洛伦兹力提供向心力，列式取出半径，画出轨迹圆弧，根据几何关系求出圆弧所对应的圆心角，从而求出对应的时间．

解答：解：（1）在加速电场中根据动能定理：
qU0=

1

2

mv2 
v=

2qU0 m

在匀强磁场中，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，粒子刚好能从磁场的右边界穿过，轨迹正好是

1

4

个圆弧，即圆弧的半径为磁场的宽度d．则有：
Bqv=m

v2

d

d=

mv

Bq

解得：U0=

B2qd2

2m

（2）此时的临界条件为：粒子沿磁场左边界射入磁场做半个圆的运动，从磁场右边界射出．

1

2

d=

mv/

Bq

v/=

2qU/ m

解得U/=

B2qd2

8m

（3）做运动轨迹如右图所示．
U=U0=

B2qd2

m

v=

2qU m

=

Bqd

m

r=

mv

Bq

=d
从右图中得：最短时间的圆弧对的圆心角为θ=60⁰
所以tmin=

1

6

T=

πm

3Bq

答：（1）加速电场的电压为U₀时，粒子刚好能从磁场的右边界穿过，则U0=

B2qd2

2m

．
（2）若在P点加一个速度散射器（可使粒子速度方向变化，而不改变速度大小），使粒子从P点沿各个方向射入磁场，为使磁场右边界有粒子射出，加速电压至少应为

B2qd2

8m

．
（3）在有速度散射器的情况下，将加速电压调为U=U₀，则穿过磁场的粒子中，穿越磁场的最短时间为

πm

3Bq

．

点评：此题的关键是能找到临界条件，根据临界条件列式求解．同时要熟练掌握磁场中洛伦兹力提供向心力，画出圆弧，求半径，求圆心角．此题难度较大，属于难题．