Question

两平行金属板间所加电压随时间变化的规律如图所示，大量质量为m、带电量为e的电子由静止开始经电压为U₀的电场加速后连续不断地沿两平行金属板间的中线射入，若两板间距恰能使所有子都能通过．且两极长度使每个电子通过两板均历时3t₀，电子所受重力不计，试求：
（1）电子通过两板时侧向位移的最大值和最小值；
（2）侧向位移最大和最小的电子通过两板后的动能之比．

Answer 1

分析：（1）根据在不同时段的运动性质，结合位移表达式，从而列出最大位移与最小位移关系式，即可求解；
（2）根据各自位移的不同，结合动能定理，即可求解．

解答：解：（1）电子在t=2 nt₀（其中：n=0、1、2、…）时刻进入电场，电子通过两极的侧向位移最大，
在t=（2n+l）t₀（其中n=0、l、2、…）时刻进入电场电子通过两板侧向位移最小．
电子侧向位移最大时，进入电场在沿电场线方向上作初速度为零的匀加速运动，
再作匀速运动，后作初速度不为零的匀加速运动，各段运动的时间均为t₀；
当电子侧向位移最小时，在电场线上只有在第二个t₀的时间开始作初速度为零的匀加速运动，
在第三个t₀的时间作匀速运动．电子进入偏转电场后，在电场中的加速度均为a=

eU0

md

，电子侧向最大位移为
y_max=

1

2

at₀²+at₀²+at₀²+

1

2

at₀²=3at₀²=

3eU0 t 2 0

md

．  
解得：y_max=

d

2

由以上两式解得y_max=t₀

6emU0

m

；
 d=2y_max=2t₀

6emU0

m

；
电子侧向最小位移为y_min=at₀²/2+at₀²=

1

2

y_max=

1

2

t₀

6emU0

m

；
解得：y_min=

d

4

（2）电子离开偏转电场时的动能等于加速电场和偏转电场电场力做功之和．
当电子的侧向位移为最大时，电子在电场中加速（只有加速，电场力才做功）．
运动的距离为y₁=

2

3

 y_max=

d

3

，电子的侧向位移最小时，
电子在电场中加速运动的距离为y₂=

1

3

y_min=

d

12

，
侧向位移最大的电子动能为 E_kmax=eU_O+eU_O?

y1

d

=

4

3

eU_O，
侧向位移最小的电子动能为E_kmin=eU_O+eU_O?

y2

d

=

13

12

eU_O，
故E_kmax：E_kmin=16：13
答：（1）电子通过两板时侧向位移的最大值

d

2

和最小值

d

4

；
（2）侧向位移最大和最小的电子通过两板后的动能之比16：13．

点评：考查由运动情况来运用位移与时间关系式，并掌握动能定理的应用，搞清不同时段的运动性质，这是解题的关键．