Question

如图所示，长为L的绝缘细线，一端悬于O点，另一端连接一带负电的小球，置于水平向右的匀强电场中，在悬点O的下方钉一个钉子O′，O和O′的连线OO′与竖直方向成θ=30°的夹角，已知小球受到的重力是电场力的

3

倍，现将细线向右水平拉直后从静止释放，细线碰到钉子后要使小球刚好绕钉子O′在竖直平面内作圆周运动，求OO′的长度．

Answer 1

分析：本题是一个摆在重力场和电场的叠加场中的运动问题，由于重力场和电场力做功都与路径无关，因此可以把两个场叠加起来看成一个等效力场来处理，如图所示，分析小球的运动过程：摆球先沿电场力与重力的合力方向做匀加速直线运动，绳子绷紧瞬间，沿绳子方向的分速度突然减小为零，再以切向分速度绕O′点做圆周运动．在等效力场中，过点O′做合力F的平行线与圆的交点为Q，即为摆球绕O′点做圆周运动的“最高点”，由合力提供向心力，求出“最高点”的临界速度表达式，再结合能量守恒或动能定理列式求解．

解答：解：因小球带负电，所受电场力方向向左，小球释放后，先做匀加速直线运动：
由mg=

3

qE可知：tanα=

qE

mg

=

3

3

所以α=30°
从释放到细线碰钉子时，根据动能定理：

mg

cosα

?L=

1

2

mV12-0
细线绷紧的瞬间，沿绳方向的速度立即变为零，垂直绳方向的速度为V'₁
V'₁=V₁cosα
此后，小球绕钉子做半径为R的圆周运动，刚好通过等效最高点时的速度为V₂
根据合力提供向心力

mg

cosα

=m

V 2 2

R

碰钉子后到等效最高点的过程中，由动能定理：-

mg

cosα

(R+Rsinθ)=

1

2

m

V

2 2

-

1

2

mV′12
联立求解得：oo′=L-R=

5

8

L
答：OO?的长度为L-R=

5

8

L．

点评：考生以前做过不少“在重力场中释放摆球．摆球沿圆弧线运动的习题”．受到这道题思维定势的影响，没能分析出本题的摆球是在重力场和电场叠加场中运动．小球同时受到重力和电场力的作用，这两个力对摆球运动轨迹都有影响．受“最高点”就是几何上的最高点的思维定势的影响，没能分析清楚物理意义上的“最高点”含义．在重力场中应是重力方向上物体运动轨迹的最高点，恰好是几何意义上的最高点．而本题中，“最高点”则是重力与电场力的合力方向上摆球运动的轨迹的最高点．