Question

3．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图．在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两电场的边界均是边长为a的正方形（不计电子所受重力）．

（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子 离开ABCD区域的位置．
（2）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置．
（3）若将左侧电场Ⅱ整体水平向右移动$\frac{a}{n}$（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场Ⅰ区域内由静止释放电子的所有位置．

Answer 1

分析 （1）在AB边的中点处由静止释放电子，电场力对电子做正功，根据动能定理求出电子穿过电场时的速度．进入电场II后电子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出电子的加速度，由运动学公式结合求出电子离开ABCD区域的位置坐标．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子先在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，进入电场Ⅱ后做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出位置x与y的关系式．
（3）电子释放，在电场I中加速到v₂，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，运用动能定理、类平抛运动的规律和几何关系结合解答．

解答 解：（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的速度为v₀，此后在电场II中做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有：eEa=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
 $\frac{a}{2}$-y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{a}{{v}_{0}}）^{2}$     
解得：y=$\frac{1}{4}$a
所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（-2a，$\frac{1}{4}$a）
（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v₁，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有：
eEx=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{a}{{v}_{1}}）^{2}$
解得：xy=$\frac{1}{4}{a}^{2}$       即在电场I区域内满足该函数的点即为所求位置．
（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v₂，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有eEx=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
  y-y′=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{a}{{v}_{2}}）^{2}$
  y′=${v}_{y}•\frac{a}{n{v}_{2}}$
可得 $\frac{y-y′}{a}$=$\frac{1}{2}•\frac{{v}_{y}}{{v}_{2}}$
解得：xy=${a}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$
即在电场I区域内满足该函数的点即为所求位置
答：（1）电子离开ABCD区域的位置坐标为（-2a，$\frac{1}{4}$a）．
（2）在电场Ⅰ区域内满足方程xy=$\frac{1}{4}{a}^{2}$的点即为所有释放点的位置．
（3）在电场Ⅰ区域内由静止释放电子的所有位置满足方程xy=${a}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$．

点评 本题实际是加速电场与偏转电场的组合，对于加速往往根据动能定理研究速度．对于类平抛运动，运用运动的分解法研究．要有分析和处理较为复杂的力电综合题的能力．