Question

1．铀238的半衰期是4.5×10⁹年，假如一块矿石中含有1kg铀238，经45亿年后还剩多少铀238？假设发生衰变的铀238都变成了铅206，矿石中含有多少铅？这时铀铅比例是多少？写出矿石中铀、铅比例随时间变化的一般关系式，并说明能否根据这种铀铅比例判断出矿石的年龄．

Answer 1

分析 根据总质量（m₀）、衰变质量（m）、衰变时间（t），半衰期（T）之间关系式，代入数据可正确解答还剩多少铀；
减小的²³⁸U，并非全部变为²⁰⁶Pb，还有其它粒子产生，根据²³⁸U和²⁰⁶Pb质量数之间的关系可正确解答．
根据前两问计算结果可直接回答．

解答 解：设总质量（m₀）、剩余质量（m）、衰变时间（t），半衰期（T）之间关系为：
$m={m}_{0}（\frac{1}{2}）^{（\frac{t}{T}）}$…①
将m₀=1kg，T₀=45亿年，t=45亿年，代人解得：
$m=\frac{{m}_{0}}{2}=0.5kg$
故还剩余0.5 kg²³⁸U．
在衰变的过程中矿石生成的铅的原子核的个数与已经衰变的铀的原子核的个数相等，所以已经衰变的0.5kg铀转化为铅：
$m′=（{m}_{0}-m）×（\frac{206}{238}）=0.5×\frac{206}{238}=0.433kg$
这时铀铅比例是：$\frac{m}{m′}=\frac{0.5}{0.433}$
矿石中铀、铅比例随时间变化的一般关系式：
$\frac{m}{m′}=\frac{m}{（{m}_{0}-m）×\frac{206}{238}}$  ②
联立①②得：$\frac{m}{m′}$=$\frac{119×（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}}{103×[1-（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}]}$③
由③可知，在测量出矿石中铀、铅比例后，即可求出矿石的年龄．
答：经45亿年后还剩0.5kg铀238，假设发生衰变的铀238都变成了铅206，矿石中含有0.433kg铅；这时铀铅比例是$\frac{1}{0.433}$；矿石中铀、铅比例随时间变化的一般关系式为：$\frac{m}{m′}$=$\frac{119×（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}}{103×[1-（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}]}$，能根据这种铀铅比例判断出矿石的年龄．

点评 解答本题的关键是熟练掌握有关半衰期的运算，弄清总质量、衰变质量、衰变时间，半衰期之间关系．