Question

13．如图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是一段水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，在滑块下滑到B点时，突然解除小车固定，最后滑块恰好能不滑出小车．已知滑块质量m=$\frac{M}{2}$，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）求滑块运动过程中对小车的最大压力；
（2）小车的最大速度v_m；
（3）BC段水平粗糙轨道的长度L．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出滑块运动到最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力，从而得出滑块对小车的最大压力．
（2）根据动量守恒定律求出小车的最大速度．
（3）根据能量守恒求出BC段水平粗糙轨道的长度L．

解答 解：（1）A到B，根据动能定理得：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，
解得${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
在B点：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，联立解得：F_N=3mg，
根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为3mg．
（2）最终滑块恰好不滑出小车，规定向右为正方向，对系统运用动量守恒得，mv_B=（M+m）v_m，
解得最大速度${v}_{m}=\frac{m{v}_{B}}{M+m}=\frac{\frac{M}{2}\sqrt{2gR}}{\frac{3M}{2}}=\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．
（3）根据能量守恒得，$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{m}}^{2}$，
解得L=$\frac{2R}{3μ}$．
答：（1）滑块运动过程中对小车的最大压力为3mg；
（2）小车的最大速度为$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
（3）BC段水平粗糙轨道的长度为$\frac{2R}{3μ}$．

点评 本题考查了动量守恒、能量守恒、动能定理的综合运用，对于2、3两问，也可以结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，但是没有运用动量守恒和能量守恒解决来得简捷．