Question

1．微观世界与宏观世界往往存在奇妙的相似性．对于氢原子模型，因为原子核的质量远大于电子质量，可以忽略原子核的运动，形成类似天文学中的恒星-行星系统，记为模型Ⅰ．另一种模型认为氢原子的核外电子并非绕核旋转，而是类似天文学中的双星系统，核外电子和原子核依靠库仑力作用使它们同时绕彼此连线上某一点做匀速圆周运动，记为模型Ⅱ．已知核外电子的质量为m，氢原子核的质量为M，二者相距为r，静电力常量为k，电子和氢原子核的电荷量大小均为e．
（1）模型Ⅰ、Ⅱ中系统的总动能分别用E_kⅠ、E_kⅡ表示，请通过定量计算来比较E_kⅠ、E_kⅡ的大小关系；
（2）求模型Ⅰ、Ⅱ中核外电子做匀速圆周运动的周期T_Ⅰ和T_Ⅱ；
（3）通常情况下氢原子的研究采用模型Ⅰ的方案，请分析这样简化处理的合理性．

Answer 1

分析 （1）根据库仑定律与牛顿第二定律，结合动能表达式，即可求解；
（2）根据库仑定律和牛顿第二定律，及向心力表达式，即可求解；
（3）依据两个周期之比，结合两质量大小关系，即可求解．

解答 解：（1）模型Ⅰ中，设电子和原子核的速度分别为v对于电子绕核的运动，根据库仑定律和牛顿第二定律有：
$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：E_kI=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2r}$
模型Ⅱ中，设电子和原子核的速度分别为v₁、v₂，电子的运动半径为r₁，原子核的运动半径为r₂．根据库仑定律和牛顿第二定律
对电子有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2{r}^{2}}{r}_{1}$
对于原子核有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{M{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：${E}_{k2}=\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}^{2}}{r}_{2}$
系统的总动能：E_kⅡ=E_k1+E_k2=$\frac{k{e}^{2}}{2r}（{r}_{1}+{r}_{2}）$=$\frac{k{e}^{2}}{2r}$
即在这两种模型中，系统的总动能相等．
（2）模型Ⅰ中，根据库仑定律和牛顿第二定律有：
$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{I}^{2}}$
解得：T_I=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$
模型Ⅱ中，电子和原子核的周期相同，均为T_Ⅱ
根据库仑定律和牛顿第二定律
对电子有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{II}^{2}}{r}_{1}$，
解得：r₁=$\frac{k{e}^{2}{T}_{II}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{2}m}$
对原子核有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}_{II}^{2}}{r}_{2}$，
解得：r₂=$\frac{k{e}^{2}{T}_{II}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{2}M}$
因r₁+r₂=r，将以上两式代入，可解得：T_II=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}mM{r}^{3}}{k{e}^{2}（M+m）}}$
（3）所以有，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{II}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$  
因为M＞＞m，可得T_Ⅰ≈T_Ⅱ，所以采用模型Ⅰ更简单方便．
答：（1）E_kⅠ、的大小为$\frac{k{e}^{2}}{2r}$，E_kⅡ的大小$\frac{k{e}^{2}}{2r}$，两种模型中，系统的总动能相等；
（2）模型Ⅰ、Ⅱ中核外电子做匀速圆周运动的周期$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$和$\sqrt{\frac{4{π}^{2}mM{r}^{3}}{k{e}^{2}（M+m）}}$；
（3）因为M＞＞m，可得T_Ⅰ≈T_Ⅱ，所以采用模型Ⅰ更简单方便．

点评 考查库仑定律和牛顿第二定律的应用，掌握向心力与动能表达式，理解库仑引力提供向心力的内容，注意符号运算是解题的难点．