Question

已知月球质量是地球质量的

1

81

，月球半径是地球半径的

1

3.8

．求：
（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？

Answer 1

分析：（1）由竖直上抛是加速度大小等于重力加速度的匀减速直线运动，可得上升最大高度表达式，可知上升最大高度与重力加速度有关，进而由万有引力等于重力可得月球和地球重力加速度的比值，可确定上升的最大高度之比．
（2）由平抛水平做匀速直线运动，竖直做自由落体运动，可求水平射程的表达式，可知水平射程也与重力加速度有关，由（1）的计算可得物体的水平射程之比．

解答：解：（1）设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，地球质量为M′，半径为R′，地面重力加速度为g′，在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：
h=

v2

2g

，
h′=

v2

2g′

，
月球表面万有引力等于重力可得G

Mm

R2

=mg，
解得：g=

GM

R2

，
同理可得：g′=

GM′

R′2

，
在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比：

h

h′

=

g′

g

=

M′R2

MR′2

=81×(

1

3.8

)=5.6．
（2）设抛出点的高度为H，初速度为v₀，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，可知：
H=

1

2

gt2，
解得：
t=

2H g

，
在水平方向做匀速直线运动，其在月球和地球表面水平射程之比为：

s

s′

=

v0t

v0t′

=

g′ g

=

R

R′

×

M′ M

=

9

3.8

=2.37．
答：（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比5.6．
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为2.37．

点评：首先，要熟练竖直上抛，自由落体这两种规律，知道平抛的特征是水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动；其次，在比较两个量的时候，先列出对应量的表达式，再从题目找给定的表达式中各个量的关系．