Question

宇航员在某星球表面完成下面实验：如图所示，在半径为r的竖直光滑圆弧轨道内部，有一质量为m的小球（可视为质点），在最低点给小球某一水平初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，测得轨道在最高点和最低点时所受压力大小分别为F₁、F₂；已知该星球的半径为R，引力常量G，试求：该星球的质量．

Answer 1

分析：在最高点和最低点靠合力提供向心力，根据最高点和最低点时所受压力大小，结合牛顿第二定律和机械能守恒定律求出重力加速度的大小，根据万有引力等于重力求出星球的质量．

解答：解：最高点：F1+mg=m

v12

r

最低点：F2-mg=m

v22

r

根据机械能守恒定律得：

1

2

mv12-

1

2

mv22=mg?2r
解得：F₂-F₁=6mg，g=

F2-F1

6m

．
根据GM=gR²
解得M=

R2(F2-F1)

6mG

．
答：该星球的质量为

R2(F2-F1)

6mG

．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、万有引力等于重力这些知识点，综合性较强，难度适中，需加强训练．