Question

17．太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材．做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上．现将太极球简化成如图1所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势．A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高．设球的重力为1N，不计拍的重力．求：

（1）健身者在C处所需施加的力比在A处大多少？
（2）设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，试导出tanθ和F的函数关系式并在图2中作出tanθ-F的关系图象．

Answer 1

分析 （1）在球运动过程中受重力和支持力，由向心力公式可以求在各点的受力情况．
（2）结合质量与支持力的合力提供向心力即可正确解答．

解答 解：（1）设球运动的线速度为v，半径为R
则在A处时有：F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
在C处时有：F′-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②式得：△F=F′-F=2mg=2N．
（2）在A处时健身者需施加的力为F，球在匀速圆周运动的向心力为：F_向=F+mg，
在B处不受摩擦力作用，受力分析如图
则有：tanθ=$\frac{{F}_{向}}{mg}=\frac{F+mg}{mg}$=$\frac{1}{mg}F+1$=1+F；
作出的tanθ-F的关系图象如图2，．
答：（1）健身者在C处所需施加的力比在A处大2N；
（2）图象如图

点评 本题考查了向心力公式的应用，重点要对物体的受力做出正确的分析，列式即可解决此类问题．