题目内容
某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3…N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1）．将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞…所有碰撞皆为无机械能损失的正碰．（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m/s2）（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为vn，求n+1号球碰撞后的速度．
（2）若N=5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16h小于绳长）问k值为多少？
【答案】分析：（1）用动量守恒和机械能守恒分析该碰撞过程，解方程组即可．
（2）根据题意前后两个小球碰撞后后一个小球的速度与两球的质量有关系，即
，我们利用不完全归纳法得到：如果知道V1，那么，
，于是第5号球的速度可求，那么，5号球上升的高用机械能守恒可以解决．
解答：解：（1）本题中的两球相碰，均可看成是“一静一动弹性碰撞模型”．因为每个球的质量依次递减，碰后不会出现入射球反弹的情况．如果入射球质量为m1，被碰球质量为m2，碰前m1的速度为v1，碰后两球的速度分别为v1′、v2′由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
m v1=m1v1′+m2v2′
得：
本题主要应用v2′当n取代1时，n+1就取代2．
设n号球质量为m，与n+1号球碰撞后的速度分别为vn′、vn+1′取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1=kmn
根据动量守恒，有mnVn=mnV′n+kmnV′n+1…①
根据机械能守恒，有
…②
由①②得：
…③
（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有：
…④
v1=
…⑤
同理可求，5号球碰后瞬间的速度
…⑥
由③式可得
…⑦
N=n=5时，v5=
…⑧
由⑤⑥⑧三式得：
k=
=0.414…⑨
答：（1）n+1号球碰撞后的速度
（2）k值为0.414
点评：本题是利用动量守恒和机械能守恒联合解决一维碰撞问题的典型例子，其中由1号球的速度归纳第n+1号球的速度是关键，而且也是难点．
（2）根据题意前后两个小球碰撞后后一个小球的速度与两球的质量有关系，即
，我们利用不完全归纳法得到：如果知道V1，那么，，于是第5号球的速度可求，那么，5号球上升的高用机械能守恒可以解决．解答：解：（1）本题中的两球相碰，均可看成是“一静一动弹性碰撞模型”．因为每个球的质量依次递减，碰后不会出现入射球反弹的情况．如果入射球质量为m1，被碰球质量为m2，碰前m1的速度为v1，碰后两球的速度分别为v1′、v2′由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
m v1=m1v1′+m2v2′
得：
本题主要应用v2′当n取代1时，n+1就取代2．
设n号球质量为m，与n+1号球碰撞后的速度分别为vn′、vn+1′取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1=kmn
根据动量守恒，有mnVn=mnV′n+kmnV′n+1…①
根据机械能守恒，有
…②由①②得：
…③（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有：
…④v1=
…⑤同理可求，5号球碰后瞬间的速度
…⑥由③式可得
…⑦N=n=5时，v5=
…⑧由⑤⑥⑧三式得：
k=
=0.414…⑨答：（1）n+1号球碰撞后的速度
（2）k值为0.414
点评：本题是利用动量守恒和机械能守恒联合解决一维碰撞问题的典型例子，其中由1号球的速度归纳第n+1号球的速度是关键，而且也是难点．
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