Question

7．小河宽为d，河水中各点水流速度的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v_水=$\frac{4{v}_{0}}{d}$x，x为各点到近岸的距离，小船在静水中的速度为v₀．小船的船头垂直河岸渡河，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 全程船的位移为$\sqrt{5}$d
• B． 全程船的位移为$\sqrt{2}$d
• C． 小船到达离河对岸$\frac{3d}{4}$处，船的实际速度为$\sqrt{10}$v₀
• D． 小船到达离河对岸$\frac{3d}{4}$处，船的实际速度为$\sqrt{2}$v₀

Answer 1

分析 将小船的运动分解为沿船头指向和顺水流方向的两个分运动，两个分运动同时发生，互不干扰，与合运动相等效．根据运动的合成来确定初速度与加速度的方向关系，从而确定来小船的运动轨迹；小船垂直河岸渡河时间最短，由位移与速度的比值来确定运动的时间；由水流速度的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，来确定水流的速度，再由小船在静水中的运动速度，从而确定小船的渡河速度．

解答 解：AB、将小船的运动分解为沿船头指向和顺水流方向的两个分运动，小船的船头垂直河岸渡河，河水中各点水流速度的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v_水=$\frac{4{v}_{0}}{d}$x=$\frac{4{v}_{0}}{d}{v}_{0}t$，可知，水流方向先做匀加速后做匀减速，那么水流方向的位移为s=2×$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=2×$\frac{4{v}_{0}^{2}}{d}×（\frac{d}{2{v}_{0}}）^{2}$=d，因此全程船的位移为$\sqrt{2}$d，故B正确，A错误；
CD、小船到达离河对岸$\frac{3d}{4}$处，则水流速度为v=$\frac{4{v}_{0}}{d}$×$\frac{d}{4}$=v₀，而小船在静水中的速度为v₀，所以船的渡河速度为$\sqrt{2}$v₀，故C错误，D正确；
故选：BD．

点评 本题关键是当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，同时合速度与分速度遵循平行四边形定则，同时注意v=kx公式中的x的含义．