Question

18．游艺场里的双重过山车可以简化为图甲所示的物理模型，可进一步简化成图乙所示的示意图．圆轨道A的半径为R=0.9m，圆轨道B的半径r=0.4m．设整个轨道光滑．一个质量m=0.1kg的小球从O点静止开始沿光滑轨道下滑．小球恰能通过圆轨道A的最高点，则：
（1）小球在圆轨道A的最高点的速度多大？
（2）O点到最低点的高度差h多大？
（3）若整个轨道是粗糙的，小球仍从O点静止开始下滑，却只能恰好通过圆轨道B的最高点，则此过程小球克服摩擦力做功是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通过圆轨道A的最高点，即在最高点只由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得最高点的速度；
（2）由动能定理可求高度差；
（3）先由牛顿第二定律求得B最高点的速度，再由动能定理求克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球恰能通过圆轨道A的最高点，即在最高点只由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s．
（2）从O到A的最高点，由动能定理可得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv_A²-0
代入数据解得：h=2.25m
（3）小球恰能通过圆轨道B的最高点，即在最高点只由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：v_B=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s．
设此过程小球克服摩擦力做功为W_f，从O到B的最高点，由动能定理可得：mg（h-2r）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
代入数据解得：W_f=12.5J．
答：（1）小球在圆轨道A的最高点的速度为3m/s；
（2）O点到最低点的高度差为2.25m；
（3）此过程小球克服摩擦力做功是12.5J．

点评 本题主要是动能定理和向心力知识的综合应用．关键要分析临界状态，挖掘小球到达最高点时的临界条件．同时要注意圆轨道的模型与细绳拴球的模型相似，但杆子模型不同．本题的圆轨道属于“轻绳”模型，求最高点的临界速度是解答此题的关键，同时全过程分析使用动能定理更为简捷．