Question

7．一宇宙飞船飞近某一行星并进入靠近行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在该行星上．已知宇航员在绕行时测得绕行周期为T，着陆后测得质量为m的砝码在星球表面的重力为F，由测量的量可得该星球的质量M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，该星球的密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，该星球的半径R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

Answer 1

分析 通过万有引力提供向心力、万有引力等于重力去求星球的质量和半径，再求密度．

解答 解：宇宙飞船绕行星表面运行时，根据万有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
在星球上，由万有引力等于重力，得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F
联立解得：R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$，M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$
则该星球的密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案为：$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力这两大理论，要灵活选取向心力公式的形式．