Question

如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，左端连着绝缘介质小球B，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上．整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球为S处自由释放，并与B球发生碰撞．碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变．已知B球质量为A球质量的3倍，A、B小球均可视为质点．求：
（1）A球与B球碰撞前瞬间的速度v₀；
（2）求A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）B球被碰后的运动为周期性运动，其运动周期T=2π

M k

，要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求劲度系数k的可能取值．

Answer 1

分析：（1）小球A从距B球为S处自由释放后，在电场力作用下做匀加速运动，根据动能定理求解与B球碰撞前瞬间的速度v₀；
（2）碰撞过程中A、B的总动量守恒、机械能也守恒，即可由两大守恒定律求解球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）B球被碰后做简谐运动，具有周期性，A向左做匀减速运动，要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的（n+

1

2

）T．根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出A运动时间t，即可求解出劲度系数k的可能取值．

解答：解：（1）设A球与B球碰撞前瞬间的速度为v₀，
由动能定理得，qES=

1

2

m

v

2 0

 
解得：v₀=

2qES m

（2）碰撞过程中动量守恒，则有 mv₀=mv₁+Mv₂ 
机械能无损失，有  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

联立上两式解得  v₁=-

1

2

v0=-

2qES m

  方向向左，v₂=

1

2

v0=

2qES m

方向向右．
（3）要使m与M第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的（n+

1

2

）T．（n=0、1、2、3 …）
A球运动的加速度为 a=

qE

m

，t=

2v1

a

=（n+

1

2

）T，
又由题意，T=2π

M k

，解得：k=

6π2qE

S

(n+

1

2

)2（n=0、1、2、3 …）    
答：
（1）A球与B球碰撞前瞬间的速度v₀是

2qES m

．
（2）A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁大小

2qES m

，方向向左．B球的速度v₂是

2qES m

，方向向右．
（3）劲度系数k的可能取值是k=

6π2qE

S

(n+

1

2

)2（n=0、1、2、3 …）．

点评：本题是综合性很强的题目，运用到动能定理、动量守恒、机械能守恒、运动学公式、牛顿定律，难点是抓住简谐运动的周期性，得到A球运动时间的通项，即可求出K的可能值．