Question

10．如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r＜＜R，有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v₀射入圆管．
（1）若要小球能从C端出来，初速v₀至少多大？
（2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况．初速v₀各应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）当球恰好能从C端出来时，速度为零，根据机械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球为研究对象，小球经过C点时速度不同，管壁对球的作用力大小和方向不同，分析讨论：当管壁对球无作用力时，在C点由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出在C点的速度，由机械能守恒定律求出初速v₀．当初速度大于和小于临界速度时，由向心力知识分析管壁对球的作用力大小和方向．

解答 解：（1）当球恰好能从C端出来时，速度v_C=0．
根据机械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$，
解得：v₀=2$\sqrt{gR}$
所以要使小球能从C端出来，初速度v₀≥2$\sqrt{gR}$．
（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有三种典型情况：
①当管壁对球无作用力时，即N=0时，由mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$，
根据机械能守恒定律得：mg•2R+$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$．
②当管壁对球的作用力方向向下时，球对管壁的压力方向向上，此时v₀＞$\sqrt{5gR}$．
③当管壁对球的作用力方向向上时，球对管壁的压力方向向下，此时2$\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．
答：（1）要使小球能从C端出来，初速度v₀≥2$\sqrt{gR}$．
（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有三种典型情况：
①球对管壁无作用力，v₀=$\sqrt{5gR}$．
②球对管壁的压力方向向上，v₀＞$\sqrt{5gR}$．
③球对管壁的压力方向向下，2$\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．

点评 本题是机械能守恒定律与向心力知识的结合，考查综合应用物理规律的能力．对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点和在最高点恰好不受管壁作用力两种情况．