Question

如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于10°，现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A，使其由静止下滑，若在圆弧的最低点O的正上方h处由静止释放小球B，让其自由下落，同时A球从圆弧右侧由静止释放，欲使A、B两球在圆弧最低点O处相遇，则B球下落的高度h是多少？

Answer 1

分析：根据高度求出B球下落的时间表达式．根据周期性得出时间与小球A周期的关系，再求解B球下落的高度h．

解答：解：B做自由落体下落的高度h，时间为t，则有：
h=

1

2

gt²
圆心角小于10°，所以A做简谐运动，其周期为：
T=2π

R g

若两球能够相遇则在时间上有：
t=

n

2

T+

1

4

T（n=0，1，2，3，4…）
联立得：h=

(2n+1)2π2

8

R （n，0，1，2，3，4…）
答：B球下落的高度

(2n+1)2π2

8

R（n=0，1，2，3…）．

点评：光滑圆弧形槽所对圆心角小于10°时类似单摆，做简谐运动，等效摆长等于半径，具有周期性．