Question

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R。一个质量为m的物体(可以看作质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动。已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ,求：

 (1)物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；

(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；

(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D,释放点距B点的距离L′应满足什么条件。

Answer 1

【解析】(1)因为摩擦力始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧轨道上往复运动。

对整体过程由动能定理得：mgR·cosθ-μmgcosθ·s=0,所以总路程为s=

(4分)

(2)对B→E过程mgR(1-cosθ)=                                  ①(3分)

                                                              ②(2分)

由①②得F_N=(3-2cosθ)mg                                                 (1分)

由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力F_N′=F_N=(3-2cosθ)mg,方向竖直向下。

(1分)

(3)设物体刚好到D点,则                                   ③(2分)

对全过程由动能定理得:

mgL′sinθ-μmgcosθ·L′-mgR(1+cosθ)=mv_D²                    ④(4分)

由③④得应满足条件:L′=·R                               (1分)

答案：(1)  (2)(3-2cosθ)mg,方向竖直向下

(3)L′=