Question

20．如图所示，一长为L的轻绳，一端固定在天花板上，另一端系一质量为m的小球，球绕竖直轴O₁O₂作匀速圆周运动，绳与竖直轴之间的夹角为θ，则下列说法正确的是（　　）

• A． 绳对球的拉力小大为$\frac{mg}{cosθ}$
• B． 绳对球的拉力大小为$\frac{mg}{tanθ}$
• C． 球需要的向心力大小为mgcotθ
• D． 球转速增大，绳偏离竖直轴线的夹角变小

Answer 1

分析 首先对球进行受力分析，在竖直方向上，根据力的平衡可以得知绳子对球的拉力大小；由此可得知选项AB的正误．
对绳子的拉力进行正交分解，可求得在水平方向上的分量，即是小球做匀速圆周运动的向心力．由此可知选项C的正误．
列出角度与转速之间的关系式，可得知绳子与竖直方向的夹角与转速之间的关系，即可判知选项D的正误．

解答 解：ABC、对球进行受力分析，受重力和绳子的拉力作用，如图，合力提供向心力，对绳子的拉力进行正交分解，
在竖直方向上有：Tcosθ=mg
解得：T=$\frac{mg}{cosθ}$
在水平方向上有：F_n=Tsinθ
解得：F_n=mgtanθ
选项A正确，BC错误．
D、设转速为n转每秒，则角速度为ω=2πn，设悬线的长度为L．在半径为r=Lsinθ
则有：mgtanθ=mω²r=m×4π²n²×Lsinθ
得：cosθ=$\frac{g}{4{π}^{4}{n}^{2}L}$
当n变大时，θ将变大，选项D错误．
故选：A

点评 圆锥摆的特点：
设摆球的质量为m，摆长为l，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度、角速度、周期和频率依次为v、ω、T和f．
1、圆锥摆模型的受力特点--只受两个力：
竖直向下的重力（mg）和沿摆线方向的拉力（F），二力的合力就是摆球做圆周运动的向心力（Fn）．
2、向心力和向心加速度的计算：
向心力为：F_n=ma_n=mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$=mω²lsinθ=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$lsinθ=m（2πf）²lsinθ
向心加速度为：a_n=$\frac{{F}_{n}}{m}$=gtanθ=$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$=ω²lsinθ=$（\frac{2π}{T}）^{2}$lsinθ=（2πf）²lsinθ
3、摆线拉力的计算：
F=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{{F}_{n}}{sinθ}$=mω²l=m$（\frac{2π}{T}）^{2}l$=m（2πf）²l
4、周期T、频率f和角速度ω的计算：
T=2π$\sqrt{\frac{lcosθ}{g}}$=2π$\sqrt{\frac{h}{g}}$
f=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$
ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{h}}$
以上三式中：h=lcosθ