题目内容
【题目】利用电场可以控制电子的运动，这一技术在现代设备中有广泛的应用，已知电子的质量为
，电荷量为
，不计重力及电子之间的相互作用力，不考虑相对论效应。
（1）在宽度一定的空间中存在竖直向下的匀强电场，一束电子以相同的初速度
沿水平方向射入电场，如图1所示，图中虚线为某一电子的轨迹，射入点
处电势为
，射出点
处电势为
。
①求该电子在由运动到的过程中，电场力做的功
；
②请判断该电子束穿过图1所示电场后，运动方向是否仍然彼此平行？若平行，请求出速度方向偏转角
的余弦值
（速度方向偏转角是指末速度方向与初速度方向之间的夹角）；若不平行，请说明是会聚还是发散。
（2）某电子枪除了加速电子外，同时还有使电子束会聚或发散作用，其原理可简化为图2所示。一球形界面外部空间中各处电势均为
，内部各处电势均为
，球心位于
轴上
点。一束靠近轴且关于轴对称的电子以相同的速度
平行于轴射入该界面，由于电子只受到在界面处法线方向的作用力，其运动方向将发生改变，改变前后能量守恒。
①请定性画出这束电子射入球形界面后运动方向的示意图（画出电子束边缘处两条即可）；
②某电子入射方向与法线的夹角为
，求它射入球形界面后的运动方向与法线的夹角
的正弦值
。
【答案】（1）①
②是平行；
；
（2）①
②
【解析】
（1）①AB两点的电势差为
在电子由A运动到B的过程中电场力做的功为
②电子束在同一电场中运动，电场力做功一样，所以穿出电场时，运动方向仍然彼此平行，设电子在B点处的速度大小为v，根据动能定理
解得：
（2）①运动图如图所示：
②设电子穿过界面后的速度为
，由于电子只受法线方向的作用力，其沿界面方向的速度不变，则
电子穿过界面的过程，能量守恒则：
可解得：
则
故本题答案是：（1）① ②；
（2）① ②
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