Question

6．小球从h高自由落地，碰地后又竖直弹起，每次弹起的速率均以碰地前瞬速率的$\frac{2}{3}$，求小球从开始释放到停下所经历的总路程（空气阻力不计）．

Answer 1

分析 小球做往复运动，每个回合分自由下落和竖直上抛两个子过程，根据运动学公式逐次求出小球下落1次、2次…时撞地前瞬间的速度、下落路程和上升路程，总结规律，得到小球在地第n次反弹在空中往复运动的总路程，运用数学知识求总路程．

解答 解：设小球第一次撞地前速度为v₀．
则v₀=$\sqrt{2gh}$
第一次撞地后：v₁=$\frac{2}{3}$v₀，反弹后空中往复运动的路程为  s₁=2×$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=2×$（\frac{2}{3}）^{2}$h
第二次撞地后：v₂=$\frac{2}{3}$v₁=$（\frac{2}{3}）^{2}$v₀，反弹后空中往复运动的路程为  s₂=2×$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$=2×$（\frac{2}{3}）^{4}$h
…
由运动规律得：小球在地n次反弹在空中往复运动的路程为  s_n=2×$（\frac{2}{3}）^{2n}$h
故小球从开始释放到停下所经历的总路程为 S=s₁+s₂+…+s_n=h+2×$（\frac{2}{3}）^{2}$h+2×$（\frac{2}{3}）^{4}$h+…+2×$（\frac{2}{3}）^{2n}$h=h+2h×$\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=2.6h
答：小球从开始释放到停下所经历的总路程为2.6h．

点评 本题是物理中数列问题，考查运用数学知识解决物理问题的能力，关键要寻找路程存在的规律．