Question

17．中国将于2020年左右建成空间站，它将成为中国空间科学和新技术研究实验的重要基地，在轨运营10年以上．设某个空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T，轨道半径为r，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g．下列说法正确的是（　　）

• A． 空间站的线速度大小为v=$\sqrt{gr}$
• B． 地球的质量为M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
• C． 空间站的向心加速度为$\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$
• D． 空间站质量为M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 地球卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在地球表面，根据重力等于万有引力，再次列式，然后联立求解

解答 解：A、空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，在地球表面，根据重力等于万有引力得$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，R为地球的半径，所以$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$，故A错误；
B、根据万有引力等于向心力得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故B正确；
C、空间站的向心加速度$a={ω}_{\;}^{2}r=（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，故C正确；
D、空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力只能求出中心体质量，空间站质量无法求解．故D错误
故选：BC

点评 本题关键是明确两点：卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力；地球表面重力等于万有引力