Question

20．如图所示，传送带与水平面之间的夹角为θ=30°，其上A、B两点间的距离为L=5m，传送带在电动机的带动下以v=1m/s的速度匀速运动，现将一质量为m=10kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：（g取10m/s²）
（1）物体刚放上传送带时加速度和到达B点时的速度的大小；
（2）在传送带从A点传送到B点的过程中，传送带对物体所做的功；
（3）将物体从A点传送到B点，电动机的平均输出功率．（除物体与传送带之间的摩擦能量损耗外，不计其他能量损耗）

Answer 1

分析 （1）对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律求出小物体加速时的加速度，通过分析可得到达B点时的速度的大小；
（2）由功能关系知传送带对小物体做的功等于小物体机械能的增量；
（3）电动机做的功等于小物体机械能的增量和系统摩擦产生的内能之和，根据功率定义可求电动机的平均输出功率．

解答 解：（1）物体刚放上A点时，受到的滑动摩擦力沿传送带向上，物体作匀加速直线运动，此时：a=$\frac{μmgcosθ-mgsinθ}{m}$=2.5m/s²
假设物体能与皮带达到相同的速度，则物体加速上滑的位移为：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=0.2m＜L
物体加速完达到v=1m/s后，将匀速运动，到达B点时速度仍为v=1m/s；
（2）从A到B，传送带对物体做的功，其实也就是摩擦力对物体做的功，
物体匀速向上运动的位移为：x₂=L-x₁=4.8m
W_传=μmgcosθ•x₁+mgsinθ•x₂=255J  
或者：动能定理W_传=mgh+$\frac{1}{2}$mv²=255J；
（2）由功能关系可知，电动机做的功等于物块增加的机械能和因滑动摩擦而发的热，
所以相对滑动时：t₁=$\frac{v}{a}$=0.4s
相对位移为：S_相=x_传-x₁=vt₁-x₁=0.2m
匀速运动的时间为：t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=4.8s
所以由功能关系得：W_电=mgLsinθ+$\frac{1}{2}$mv2+μmgcosθ•S_相=270J；  
电动机的平均输出功率为：p=$\frac{{W}_{电}}{{t}_{1}+{t}_{2}}$=$\frac{270}{5.2}$≈52W．
答：（1）物体刚放上传送带时加速度为2.5m/s²；到达B点时的速度的大小为1m/s；
（2）在传送带从A点传送到B点的过程中，传送带对物体所做的功为255J；
（3）将物体从A点传送到B点，电动机的平均输出功率为52W．

点评 注意分析小物体的运动过程，根据受力确定物体的运动，注意判断小物体是全程匀加速还是先匀加速再匀速运动；注意分析各力做功与对应能量变化的关系．