题目内容

5．如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽．从高台边B点以速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A沿圆弧切线方向进入轨道．O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角．
（1）求小球到达A点时的速度vA的大小和方向；
（2）若用θ2表示BA与竖直方向的夹角，试推出θ2和θ1满足的关系式（用正切函数表示）；
（3）若小球滑至圆弧凹槽最低点时的速度大小为v，求此时小球对凹槽的压力．

分析 （1）根据平行四边形定则，抓住小球恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A沿圆弧切线方向进入轨道，求出小球在A点的速度大小和方向．
（2）结合平抛运动的规律，通过平行四边形定则得出θ2和θ1的正切值，从而得出两者满足的关系．
（3）根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而结合牛顿第三定律求出小球对凹槽的压力．

解答 解：（1）根据平行四边形定则知，$cos{θ}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{A}}$，
所以${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$，方向与水平方向的夹角为θ1．
（2）小球从B点开始做平抛运动，
有：x=v0t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
且$tan{θ}_{2}=\frac{x}{y}=\frac{2{v}_{0}}{gt}$
解得t=$\frac{2{v}_{0}}{gtan{θ}_{2}}$，
到达A点时，${v}_{y}=gt=\frac{2{v}_{0}}{tan{θ}_{2}}$，
由题意知，vA与OA垂直，则有：$tan{θ}_{1}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2}{tan{θ}_{2}}$，
所以tanθ1•tanθ2=2．
（3）小球在凹槽的最低点有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得${F}_{N}=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由牛顿第三定律得，小球对凹槽的压力为${F}_{N}′=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$，
方向竖直向下．
答：（1）小球到达A点时的速度的大小为$\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$，方向与水平方向的夹角为θ1．
（2）θ2和θ1满足的关系式为tanθ1•tanθ2=2．
（3）小球对凹槽的压力为$mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．

练习册系列答案
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