Question

如图所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R=0.4m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C点连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧的自然状态．将一个质量为m=0.8kg的小球放在弹簧的右侧后，用力向左侧推小球而压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处后对轨道的压力为F₁=58N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x=0.3m，与小球的动摩擦因数为μ=0.5，右侧BC段光滑．g=10m/s²，求：
（1）弹簧在压缩时所储存的弹性势能．
（2）小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）由题，小球运动到C处后对轨道有压力，根据牛顿第二定律求出小球到达C点时的速度，根据动能定理求出弹簧在压缩时所储存的弹性势能．
（2）根据机械能守恒定律求出小球到达D处的速度，根据牛顿运动定律求出小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．

解答：解：（1）球运动到C处时，由牛顿第二定律得：F₁-mg=m

v 2 1

R

得，v1=

(F1-mg)R m

代入解得，v₁=5m/s
根据动能定理得，Ep-μmgx=

1

2

m

v

2 1

得，EP=

1

2

m

v

2 1

+μmgx
代入解得，E_P=11.2J
（2）小球从C到D过程，由机械能守恒定律得，

1

2

m

v

2 1

=2mgR+

1

2

m

v

2 2

代入解得，v₂=3m/s
由于v2＞

gR

=2m/s，所以小球在D处对轨道外壁有压力，由牛顿第二定律得
    F2+mg=m

v 2 2

R

代入解得，F₂=10N
根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力为10N．
答：（1）弹簧在压缩时所储存的弹性势能为11.2J．
（2）小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力为10N．

点评：本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，来处理圆周运动问题．基础题．