Question

9．图示为半径为R的四分之三圆周CED，O为圆心，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B．一群相同的带正电粒子以相同的速率从AC部分垂直于AC射向磁场区域，沿半径OD放置一粒子吸收板，所有射在板上的粒子均被完全吸收．已知粒子的质量为m，电量为q，速率v=$\frac{qBR}{2m}$，假设粒子不会相遇，忽略粒子间的相互作用，不考虑粒子的重力．求：
（1）粒子在磁场中的运动半径；
（2）粒子在磁场中运动的最短和最长时间；
（3）吸收板上有粒子击中的长度．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求解粒子在磁场中的运动半径；
（2）由圆周运动规律求出粒子运动的周期，画出粒子运动轨迹，结合几何关系即可求出粒子在磁场中运动的最短和最长时间；
（3）轨迹圆圆心的轨迹一定在与OC平行的线上，如图中O₁、O₂、O₃线上，其中O₁在AC上，O₂在OA上，O₃在板OD上．①圆心在O₁到O₂间时，粒子打在板OD的左面，由几何关系求吸收板上有粒子击中的长度．②圆心在O₂到O₃间时，粒子打在板OD的右面，再由几何关系求解．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得：
   qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入v=$\frac{qBR}{2m}$，得 r=$\frac{R}{2}$
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有
    T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
如图所示，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场
由对称性可知，粒子偏转的圆心角为90°，

最短时间 t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$
沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，
圆心角为270°，如图所示
最长时间 t₂=$\frac{3T}{4}$=$\frac{3πm}{2qB}$
（3）轨迹圆圆心的轨迹一定在与OC平行的线上，如图中O₁、O₂、O₃线上，
其中O₁在AC上，O₂在OA上，O₃在板OD上
①圆心在O₁到O₂间时，粒子打在板OD的左面，有图中几何关系得，
左表面的长度范围为 L₁=R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$R
②圆心在O₂到O₃间时，粒子打在板OD的右面，有图中几何关系得
右表面的长度范围为EF段，长度为 L₂=$\frac{R}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$R=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$R
综上，有粒子击中的长度为 L=L₁+L₂=$\frac{3}{2}$R-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$R=$\frac{6-3\sqrt{2}}{4}$R

答：
（1）粒子在磁场中的运动半径是$\frac{R}{2}$；
（2）粒子在磁场中运动的最短和最长时间分别为$\frac{πm}{2qB}$和$\frac{3πm}{2qB}$；
（3）吸收板上有粒子击中的长度是$\frac{6-3\sqrt{2}}{4}$R．

点评 本题在粒子在磁场中运动时，画出粒子的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径是关键，要注意分析时间与周期的关系．