题目内容
7．
在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动轨迹的控制．如图所示，空间存在直角三角形MNQ，∠M为直角，α=$\frac{π}{3}$．有一束质量为m、电量为+q的带电粒子以相同的速度v由三角形的M点沿MQ方向射出．在MN所在直线的右侧适当区域施加垂直MNQ平面的有界匀强磁场，使带电粒子偏转后能沿着QN方向到达N点，所加磁场的磁感应强度为B．带电粒子所受重力忽略不计．（1）若所加磁场的横截面为圆形，其最小面积为多少（q、m、v、B均为已知），磁场方向向里还是向外？
（2）若MN的长度L=1.5m，带电柱子的质量为m=4.0×10-8kg、电量为q=+4.0×10-3C、速度为v=5.0×104m/s，所加磁场的磁感应强度为B=1.0T，所加有界磁场的横截面仍为圆形，带电粒子能沿QN方向到达N点，则带电粒子由M点到N点的时间为多少？（计算结果保留两位有效数字）
分析 （1）设离开磁场的点为S点，当磁场区域以PS为直径时，该区域面积是最小的；根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，结合几何关系得到磁场区域圆的半径；
（2）在磁场区域外是匀速直线运动，在磁场内是匀速圆周运动，结合几何关系得到各个轨迹的长度即可得到总时间．
解答 解：（1）带电粒子由P点进入有界圆形磁场区域，S点出磁场区域，如图所示．
当PS为所加圆形磁场区域的直径时，圆形磁场区域的面积最小，O1为带电粒子在有界磁场中做圆周运动的圆心、r1为其半径，点O2为所施加圆形有界磁场的圆心，r2为其半径．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，得：
r1=$\frac{mv}{qB}$
在三角形O1PQ中，∠O1QP=$\frac{π}{6}$，又O1Q⊥PS
所以∠O1PO2=$\frac{π}{6}$
所以r2=r1cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$
所以最小区域磁场面积：S=π${r}_{2}^{2}$=$\frac{3π{m}^{2}{v}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$
磁场的方向垂直纸面向外．
（2）把m=4.0×10-8kg、q=+4.0×10-3C、v=5.0×104m/s，B=1.0T代入r1=$\frac{mv}{qB}$，
得带电粒子做圆周运动的半径r1=$\frac{4.0×1{0}^{-8}×5.0×1{0}^{4}}{4.0×1{0}^{-3}×1.0}$m=0.5m
因为MN=3r1，所以使带电粒子能沿QN方向到达N点，必须在M点进入磁场，S点出磁场，如图所示．
所加有界磁场区域的半径为MO2，带电粒子圆周运动的半径为MO1．有几何关系∠MO1S=$\frac{2π}{3}$．
T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2×3.14×4×1{0}^{-8}}{4×1{0}^{-3}×1}$=6.3×10-5s
带电粒子在磁场运动的时间为$\frac{1}{3}$个周期，所以
t1=$\frac{1}{3}$T═2.1×10-5s
出磁场后，O1N=L-MO1=1.5-0.5=1.0m，在直角三角形O1SN中，因为∠O1NS=$\frac{π}{6}$，
所以SN=O1Ncos$\frac{π}{6}$=1.0×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
所以t2=$\frac{SN}{v}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{5×1{0}^{4}}$s=1.7×10-5s
所以总时间：
t=t1+t2=2.1×10-5+1.7×10-5=3.8×10-5s
答：（1）若所加磁场的横截面为圆形，其最小面积为，磁场方向向外；
（2）带电粒子由M点到N点的时间为3.8×10-5s．
点评 本题关键是明确粒子的运动情况，画出临界轨迹，然后结合牛顿第二定律列式求解，不难．
阅读快车系列答案| A． | 阻力、压力、动力 | B． | 重力、弹力、摩擦力 | ||
| C． | 弹力、支持力、拉力 | D． | 浮力、重力、手对小球的握力 |
如图所示，两对金属板A、B和C、D分别竖直和水平放置，A、B接在电路中，C、D板间电压为U．A板上O处发出的电子经加速后，水平射入C、D板间，电子最终都能打在光屏M上．关于电子的运动，下列说法正确的是（ ）| A． | S闭合，只向右移动滑片P，P越靠近b端，电子打在M上的位置越高 | |
| B． | S闭合，只改变A、B板间的距离，改变前后，电子由O至M经历的时间相同 | |
| C． | S闭合，只改变A、B板间的距离，改变前后，电子到达M前瞬间的动能相同 | |
| D． | S闭合后再断开，只向左平移B，B越靠近A板，电子打在M上的位置越低 |
如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点．B点在y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心．现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，如所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（ ）| A． | tA＜tC＜tB | |
| B． | tA=tC＜tB | |
| C． | tA=tC=tB | |
| D． | 由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系 |
| A． | （$\frac{3}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$ | B． | （$\frac{3}{2}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$ | C． | （$\frac{3}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$ | D． | （$\frac{3}{2}$）2 |
