题目内容
【题目】绝缘水平面上固定有两根足够长的光滑平行金属导轨，如图所示，导轨间距为l，电阻不计。左侧接有定值电阻R．质量为m的导体杆，以初速度v0沿导轨滑行，在滑行过程中始终保持与轨道垂直且接触良好，导体杆接在导轨间的电阻为r．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。宏观规律与微观规律有很多相似之处，导体杆速度的减小规律类似于放射性元素的半衰期，理论上它将经过无限长的时间衰减完有限的速度。
（1）求在杆的速度从v0减小到
的过程中，电阻R产生的热量和通过电阻R的电荷量。
（2）证明杆的速度每减小一半所用的时间都相等。
（3）若杆的动能减小一半所用时间为t0，则杆的动量减小一半所用的时间是多少?
【答案】(1)
；(2)由动量定理即可证明；(3)
【解析】
（1）a.设电路产热为Q，由能量守恒：
串联电路中，产热与电阻成正比，可得：
解得电阻R产热为：
b.设该过程所用时间为t，由动量定理：
其中：
解得通过R的电量为：
（2）某时刻杆的速度为v（从v0开始分析亦可），则
感应电动势：
感应电流：
安培力：
在很短时间
内，由动量定理得：
（
为速度变化量的绝对值）
于是得：
所以在任意短时间内速度变化的比例为：
由于
为定值，所以任何相等时间内速度变化的比例都相等。
所以从任何时刻开始计算，速度减小一半所用时间都相等。
（3）动能减小一半，速度v减小为
由（2）中分析可得，速度从再减小到
所用时间仍为
所以速度减小一半所用时间为，动量减小一半所用时间也为。
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