Question

5．中国海军在某次军演中，1艘052D型驱逐舰，连同士兵和炮弹的总质量5000吨．某个士兵在5分钟内沿水平方向连续发射8枚导弹，每枚导弹100kg，导弹离开驱逐舰时相对驱逐舰的速度是1000m/s．发射前驱逐舰是静止的．
（1）每次发射后驱逐舰的速度改变多少？
（2）连续发射后驱逐舰的速度是多大？

Answer 1

分析 （1）由动量守恒可求得驱逐舰的速度改变量；
（2）由动量守恒可求得连续发射后驱逐舰的速度．

解答 解：（1）5000T=5×10⁶kg
发射导弹的过程系统动量守恒，以导弹的初速度方向为正方向，第一次发射的过程中由动量守恒可知：
mv+（M-m）v₁=0
所以：$△{v}_{1}={v}_{1}=-\frac{mv}{M-m}$
同理第二次发射的过程中有：mv+（M-2m）v₂=（M-m）v₁
又：△v₂=v₂-v₁
所以：${v}_{2}=\frac{2mv}{M-2m}$，$△{v}_{2}=\frac{Mmv}{（M-2m）（M-m）}$
第三次发射的过程中有：mv+（M-3m）v₃=（M-2m）v₂
又：△v₃=v₃-v₂
联立得：${v}_{3}=\frac{3mv}{M-3m}$，$△{v}_{3}=\frac{Mmv}{（M-3m）（M-2m）}$
由数学归纳法可知：${v}_{n}=\frac{nmv}{M-n•m}$，$△{v}_{n}=\frac{Mmv}{（M-n•m）[M-（n-1）m]}$
代入数据可知第n次发射后驱逐舰的速度改变是：$\frac{5×1{0}^{7}}{（5×1{0}^{4}-1）（5×1{0}^{4}-n+1）}$；n取1-8的自然数；
（2）连续发射后驱逐舰的速度是：${v}_{8}=\frac{8mv}{M-8m}$=$\frac{8×100×1000}{5×1{0}^{6}-8×100}$≈0.16m/s．
答：（1）每次发射后驱逐舰的速度改变是$\frac{5×1{0}^{7}}{（5×1{0}^{4}-1）（5×1{0}^{4}-n+1）}$，n取1-8的自然数．
（2）连续发射后驱逐舰的速度是为0.16m/s．

点评 本题要注意动量守恒定律及动量定理的应用，明确所研究的系统正确列式，同时要注意数学归纳法的应用．