Question

15．如图所示，有两根足够长的相距L的平行光滑金属导轨cd、ef，电阻不计，与水平面成θ角固定放置，底端接一阻值为R的电阻．两导轨构成的轨道平面内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直轨道平面向上．现有一质量为m、电阻不计的金属杆ab，垂直于导轨放置，在图中位置由静止释放后沿导轨下滑，到达虚线位置时速度达到最大；若将金属杆ab改放在虚线位置，并加一平行于轨道平面向上的F=3mgsinθ（g为重力加速度）的恒定拉力作用，金属杆ab可由静止沿导轨向上运动．求：
（1）金属杆ab沿导轨向下运动时的最大速度；
（2）金属杆ab沿导轨向上运动的过程中，当加速度为a时速度为多大？

Answer 1

分析 （1）当安培力等于重力沿斜面向下的分力时，金属棒的速度最大，根据共点力平衡，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律求出金属棒下滑的最大速度．
（2）根据法拉第电磁感应定律求出电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力的公式即可求出安培力，最后结合牛顿第二定律即可求出．

解答 解：（1）当金属棒下滑速度达到最大时，由受力分析得：
mgsinθ=BIL
根据闭合电路欧姆定律有：
$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$
由以上两式可得，金属棒下滑的最大速度为：
v=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$

（2）设杆的加速度为a时的速度为v，则感应电动势为：
E′=BLv
感应电流为：$I′=\frac{E′}{R}$
杆受到的安培力为：F_B′=BI′L
由牛顿第二定律有：F-mgsinθ-F_B′=ma
联立解得：v=$\frac{mR（2gsinθ-a）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）金属杆ab沿导轨向下运动时的最大速度是$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）金属杆ab沿导轨向上运动的过程中，当加速度为a时速度为$\frac{mR（2gsinθ-a）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题考查了电磁感应与力学和能量的综合，是高考常见的题型，知道当金属棒的加速度为零时，速度最大．